基础巩固。
1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
答案：c解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0,a,b选项中不存在f(x)<0,d选项中零点两侧函数值同号，故选c.
2.函数f(x)=lg x-的零点所在的区间是( )
a.(0,1] b.(1,10]
c.(10,100] d.(100,+∞
答案：b解析：由于f(1)·f(10)=(1)×<0,根据二分法得函数f(x)=lg x-在区间(1,10]内存在零点。
3.(2014届湖南长沙检测)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
a.,0 b.-2,0 c. d.0
答案：d解析：当x≤1时，由f(x)=2x-1=0,解得x=0;
当x>1时，由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解。
综上，可知函数f(x)的零点只有0.
4.函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点个数为( )
a.0 b.1 c.2 d.3
答案：d解析：∵f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1),函数f(x)有三个零点1,-1,2.
5.根据**中的数据，可以断定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是( )
a.(-1,0) b.(1,2) c.(0,1) d.(2,3)
答案：b解析：∵f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(1)f(2)<0.
故由零点存在性定理知函数f(x)的一个零点所在的区间是(1,2).
6.设函数f(x)=x3+bx+c(b>0,-1≤x≤1),且f·f<0,则方程f(x)=0在区间[-1,1]内( )
a.可能有3个实数根 b.可能有2个实数根。
c.有唯一的实数根 d.没有实数根。
答案：c解析：∵f(x)=x3+bx+c(b>0),∴f'(x)=3x2+b>0.
故函数f(x)在区间[-1,1]上为增函数。
又∵f·f<0,方程f(x)=0在区间[-1,1]上有实数根且只有一个。
7.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( )
a.1 b.2 c.3 d.4
答案：b解析：∵a>0,∴a2+1>1.
而函数y=|x2-2x|的图象如图，∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点。
方程|x2-2x|=a2+1(a>0)有两解。
8.定义在r上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2 014x+log2 014x,则在r上，函数f(x)零点的个数为 .
答案：3解析：函数f(x)为r上的奇函数，因此f(0)=0,当x>0时，函数f(x)=2 014x+log2 014x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此其在(0,+∞内有且仅有一个零点。
根据对称性可知函数f(x)在(-∞0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在r上的零点的个数为3.
9.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 .
答案：x1解析：令x+2x=0,即2x=-x,设y=2x, y=-x;
令x+ln x=0,即ln x=-x,设y=ln x,y=-x.
在同一平面直角坐标系内画出函数y=2x,y=ln x,y=-x的图象，如图，易知x1<0令x--1=0,则()2--1=0,解得，即x3=>1,所以x110.已知方程2x-1+2x2-a=0有两根，则a的取值范围是 .
答案：解析：原方程可化为2x-1=-2x2+a,在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x-1和y=-2x2+a的图象，如右图，要使方程有两根，必须两个函数的图象有两个交点。
由于函数y=2x-1的图象与y轴的交点是，所以，当a=时，抛物线的顶点与指数函数在y轴的交点重合；当a>时，它们必有两个交点。故所求a的取值范围是。
11.判断函数f(x)=4x+x2-x3在区间[-1,1]上零点的个数，并说明理由。
解：因为f(-1)=-4+1+=-0,f(1)=4+1->0,所以f(x)在区间[-1,1]上有零点。
又f'(x)=4+2x-2x2=-2,当-1≤x≤1时，0≤f'(x)≤,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递增。
所以f(x)在区间[-1,1]上有且只有一个零点。
12.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点。
解：∵函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根。
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.
当δ=0,即m2-4=0,m=-2时，t=1;m=2时，t=-1(不合题意，舍去),2x=1,x=0符合题意。
当δ>0,即m>2或m<-2时，t2+mt+1=0有两正根或两负根，即函数f(x)有两个零点或没有零点。
这种情况不符合题意。
综上可知，m=-2时，函数f(x)有唯一零点，该零点为x=0.
为何值时，函数f(x)=x2+2mx+3m+4:
1)有且仅有一个零点；
2)有两个零点且均比-1大。
解：(1)函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,解之可得m=4或m=-1.
2)方法一：设函数f(x)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4.
由题意，知。
因此-5方法二：由题意，知。
即。解之可得-5故m的取值范围为(-5,-1).
拓展延伸。14.若函数f(x)=x3-3x+2,1)求函数f(x)的零点；
2)求分别满足f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0的x的取值范围；
3)画出函数f(x)的大致图象。
解：f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1)
(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2).
1)令f(x)=0,得函数f (x)的零点为x=1或x=-2.
2)令f(x)<0,得x<-2;
令f(x)>0,得-21,所以满足f(x)<0的x的取值范围是(-∞2);
满足f(x)=0的x的取值范围是；
满足f(x)>0的x的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞
3)函数f(x)的大致图象如图所示。
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