基础巩固。
1.方程x2+x+n=0(n∈(0,1))有实根的概率为( )
a. b. c. d.
答案：c解析：由δ=1-4n≥0得n≤,又n∈(0,1),故所求事件的概率为p=.
2.已知地铁每10 min(含在车站停车的时间)一班，在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
a. b. c. d.
答案：a解析：试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构成事件a的区域长度为1 min,故p(a)=.
3.如图，圆盘中的阴影部分的圆心角为45°,若向圆内投飞镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为( )
a. b. c. d.
答案：a解析：阴影部分的面积是整个圆的面积的。
4.如图，已知正方形的面积为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为( )
a.5.3 b.4.3
c.4.7 d.5.7
答案：b解析：这个面积是10×=4.3.
5.如右图所示，在直角坐标系内，射线ot落在60°角的终边上，任作一条射线oa,则射线oa落在∠xot内的概率是( )
a. b.c. d.
答案：d解析：记“射线oa落在∠xot内”为事件a.事件a的几何度量是60°,而所有区域的几何度量是360°,故p(a)=.
6.某人向平面区域|x|+|y|≤内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )
a. b. c. d.
答案：a解析：区域|x|+|y|≤是边长为2的一个正方形区域(如下图),由图知所求概率为。
7.如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa,ob为直径作两个半圆。在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
a.1- b.
c. d.答案：a
解析：设oa=ob=2r,连接ab,如图所示。由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形中弓形的面积，s阴=π(2r)2-×(2r)2=(π2)r2,s扇=π(2r)2=πr2,故所求的概率是=1-.
8.在不等式组所表示的平面区域内，点(x,y)落在区域内的概率是 .
答案：解析：如图，题中不等式组所表示的平面区域的面积是，在这个区域中带形区域的面积是1,故所求的概率是。
9.设p在[0,5]上随机地取值，则方程x2+px+=0有实根的概率为 .
答案：解析：一元二次方程有实数根δ≥0,而δ=p2-4=(p+1)(p-2),解得p≤-1或p≥2,故所求概率为p=.
10.在区间[-π内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点的概率为 .
答案：解析：根据函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点得4a2-4(π-b2)≥0,即a2+b2≥π,建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形abcd及其内部，使函数f(x)有零点的区域为图中阴影部分，且s阴影=4π2-π2=3π2.
故所求概率为p=.
11.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,在正方体内随机取点m,求使四棱锥m-abcd的体积小于的概率。
解：如图，正方体abcd-a1b1c1d1.
设m-abcd的高为h,则×sabcd×h<,又∵sabcd=1,∴h<.
即点m在正方体的下半部分。
所求概率p=.
12.(2013·湖南长沙模拟)已知向量a=(-2,1),b=(x,y).
1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b=-1的概率；
2)若x,y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率。
解：( 1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6=36;
由a·b=-1,得-2x+y=-1,所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1),(2,3), 3,5),共3个。
故满足a·b=-1的概率为。
2)若x,y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为ω=;
满足a·b<0的基本事件的结果为。
a=;画出图形，矩形的面积为s矩形=25,阴影部分的面积为s阴影=25-×2×4=21,故满足a·b<0的概率为。
拓展延伸。13.设ab=6,**段ab上任取两点(端点a,b除外),将线段ab分成了三条线段。
1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率。
解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1,1,4;1,2,3;2,2,2,共3种情况，其中只有三条线段的长度为2,2,2时能构成三角形，则构成三角形的概率p=.
2)设其中两条线段的长度分别为x,y,则第三条线段的长度为6-x-y,则全部结果所构成的区域为。
这个区域是坐标平面内以点o(0,0),a(6,0),b(0,6)为顶点的三角形，其面积为×6×6=18.
若三条线段能够构成三角形，则还应满足任意两边之和大于第三边，即满足。
这个区域是以d(0,3),e(3,0),f(3, 3)为顶点的三角形，其面积是。
故所求的概率为。
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