课时作业(五十)
第50讲椭圆。
[时间：45分钟分值：100分]
1．平面内有两定点a、b及动点p，设命题甲：“|pa|＋|pb|是定值”，命题乙：“点p的轨迹是以a、b为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的( )
a．充分不必要条件。
b．必要不充分条件。
c．充要条件。
d．既不充分也不必要条件。
2．[2011·课标全国卷] 椭圆＋＝1的离心率为( )
a. b. c. d.
3．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( )
a．2 b．2 c．4 d．4
4．已知点m(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点a、b，则△abm的周长为___
5．[2011·执信中学月考] 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
a. b. c. d.
6．椭圆kx2＋(k＋2)y2＝k的焦点在y轴上，则k的取值范围是( )
a．k>－2 b．k<－2
c．k>0 d．k<0
7．[2011·铁岭三校二联] 椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值为( )
a．2或 b．2
c．4或 d.
8．若长轴在y轴上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为，短轴长为8，则椭圆的标准方程是( )
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋＝1 d.＋＝1
9．矩形abcd中，|ab|＝4，|bc|＝3，则以a、b为焦点，且过c、d两点的椭圆的短轴的长为( )
a．2 b．2
c．4 d．4
10．椭圆的中心在原点，一个焦点是f(0,2)，离心率是，则椭圆的标准方程是___
11．已知△abc的顶点a(－3,0)和c(3,0)，顶点b在椭圆＋＝1上，则。
12．若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是___
13．[2012·浙江效实中学期中] 设椭圆＋＝1(a>b>0)上一点a关于原点的对称点为b，f为其右焦点，若af⊥bf，且∠abf＝，则椭圆的离心率为___
14．(10分)已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为和，过p点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
15．(13分)[2011·陕西卷] 设椭圆c：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为。
1)求c的方程；
2)求过点(3,0)且斜率为的直线被c所截线段的中点坐标．
16．(12分)[2011·株洲调研] 已知中心在原点的椭圆c：＋＝1的一个焦点为f1(0,3)，m(x,4)(x>0)为椭圆c上一点，△mof1的面积为。
1)求椭圆c的方程；
2)是否存在平行于om的直线l，使得直线l与椭圆c相交于a，b两点，且以线段ab为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
课时作业(五十)
基础热身】1．b [解析] 当“点p的轨迹是以a、b为焦点的椭圆”时，则有“|pa|＋|pb|是定值”；反之，当“|pa|＋|pb|是定值”时，点p的轨迹可能是线段或无轨迹．故选b.
2．d [解析] 由题意a＝4，c2＝8，∴c＝2，所以离心率为e＝＝＝
3．c [解析] 把点(－2，)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝2，故焦距为2c＝4.故选c.
4．8 [解析] y＝k(x＋)，过定点n(－，0)，而m、n恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△abm的周长为4a＝4×2＝8.
能力提升】5．b [解析] 依题意有2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝(a＋c)2，整理得3a2－2ac－5c2＝0，解得a＋c＝0(舍去)或3a＝5c，所以e＝.故选b.
6．b [解析] 将椭圆方程化为x2＋＝1，若椭圆的焦点在y轴上，则必有0<<1，解得k<－2.故选b.
7．c [解析] (1)当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝>0，所以c2＝1－>0，所以m>1，且e＝＝＝解得m＝4.
2)当焦点在y轴上时，a2＝>0，b2＝1，所以c2＝－1>0，所以08．a [解析] 依题意知＝，即3a＝5c，又b＝4，∴a2＝16＋c2＝16＋a2，解得a2＝25.故选a.
9．d [解析] 依题意得|ac|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|ab|＝4，长轴长2a＝|ac|＋|bc|＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4.故选d.
10.＋＝1 [解析] 由已知，得c＝2，＝，所以a＝，b2＝a2－c2＝2.又焦点在y轴上，所以椭圆方程为＋＝1.
11．2 [解析] 易知a，c为椭圆的焦点，故|ba|＋|bc|＝2×6＝12，又|ac|＝6，由正弦定理知，＝＝2.
12.≤e<1 [解析] 由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2，所以≤.又<1，所以≤e<1.
13. [解析] 设a(x0，y0)，则b(－x0，－y0)，而f(c,0)，依题意有|af|＝|bf|，且af⊥bf，所以解得所以由题意知a、b分别是椭圆的上下顶点，所以c＝b，所以c2＝b2＝a2－c2，解得e＝.
14．[解答] 设两焦点为f1、f2，且|pf1|＝，pf2|＝.
由椭圆定义知2a＝|pf1|＋|pf2|＝2，即a＝.
由|pf1|>|pf2|知，|pf2|垂直焦点所在的对称轴，所以在rt△pf2f1中，sin∠pf1f2＝＝，可求出∠pf1f2＝，2c＝|pf1|·cos＝，从而b2＝a2－c2＝.
所以所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
15．[解答] (1)将(0,4)代入椭圆c的方程得＝1，∴b＝4.
又e＝＝得＝，即1－＝，a＝5，c的方程为＋＝1.
2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入c的方程，得。
＝1，即x2－3x－8＝0.
解得x1＝，x2＝，ab的中点坐标＝＝，x1＋x2－6)＝－
即中点为。难点突破】
16．[解答] (1)因为椭圆c的一个焦点为f1(0,3)，所以b2＝a2＋9，则椭圆c的方程为＋＝1.因为x>0，所以s△mof1＝×3×x＝，解得x＝1.
故点m的坐标为(1,4)．
因为m(1,4)在椭圆上，所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，则b2＝9＋9＝18，所以椭圆c的方程为＋＝1.
2)假设存在符合题意的直线l与椭圆c相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，其方程为y＝4x＋m(因为直线om的斜率k＝4)．由消去y，化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0.
进而得到x1＋x2＝－，x1·x2＝.
因为直线l与椭圆c相交于a，b两点，所以δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0，化简得m2<162，解得－9因为以线段ab为直径的圆恰好经过原点，所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.
又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，所以x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝0.
解得m＝±.由于±∈(9，9)，所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x＋或y＝4x－.
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