第二编函数与基本初等函数ⅰ
2.1 函数及其表示。
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．(2010·佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是。
a．y＝x－1与y＝
b．y＝与y＝
c．y＝4lg x与y＝2lg x2
d．y＝lg x－2与y＝lg
解析 ∵y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应法则不同，故不是同一函数；y＝
x≥1)与y＝(x>1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y＝4lg x (x>0)与y＝2lg
x2(x≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y＝lg x－2(x>0)与y＝lg＝lg x－2 (x>0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数．
答案 d2．(2009·临沂3月模拟)已知f(x)＝
使f(x)≥－1成立的x的取值范围是。
a．[－4,2b．[－4,2]
c．(0,2d．(－4,2]
解析 ∵f(x)≥－1，∴
或。－4≤x≤0或0答案 b
3．(2010·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(x＋3)的定义域为m，g(x)＝的定义域为n，则m∩n
等于 ( a．，n＝．
m∩n＝．答案
三、解答题(共40分)
10．(13分)(2009·阳江第一学期期末)求下列函数的定义域：
1)y＝＋lgcos x；
2)y＝log2(－x2＋2x)．
解 (1)由，得，借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为。
2)－x2＋2x>0，即x2－2x<0，∴0∴函数的定义域为(0,2)．
11．(13分)(2009·清远一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．
2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(x－150)－
整理得f(x)＝－162x－21 000
－(x－4 050)2＋307 050.
所以，当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050.
即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．
12．(14分)(2010·东莞模拟)已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．
解设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，则f(x)＋g(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3，又f(x)＋g(x)为奇函数，a＝1，c＝3.
f(x)＝x2＋bx＋3，对称轴x＝－.
当－≥2，即b≤－4时，f(x)在[－1,2]上为减函数，f(x)的最小值为f(2)＝4＋2b＋3＝1.
b＝－3.∴此时无解．
当－1<－<2，即－4f(x)min＝f＝3－＝1，b＝±2.
b＝－2，此时f(x)＝x2－2x＋3，当－≤－1，即b≥2时，f(x)在[－1,2]上为增函数，f(x)的最小值为f(－1)＝4－b＝1.
b＝3.∴f(x)＝x2＋3x＋3.
综上所述，f(x)＝x2－2x＋3，或f(x)＝x2＋3x＋3.
2.2 函数的单调性与最大(小)值。
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．(2010·佛山模拟)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，∞)上是 (
a．增函数b．减函数。
c．先增后减d．先减后增。
解析 ∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞上都是减函数，a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，y＝ax2＋bx在(0，＋∞上为减函数．
答案 b2．(2010·安庆一模)函数f(x)＝(a>0且a≠1)是r上的减函数，则a的取值范围是 (
a．(0,1b.
cd. 解析据单调性定义，f(x)为减函数应满足：
即≤a<1.
答案 b 3．(2009·东莞一模)下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是。
a．y＝sin xb．y＝－log2x
c．y＝xd．y＝x－
解析 ∵y＝sin x在上是增函数，y＝sin x在(0,1)上是增函数．
答案 a4．(2009·天津理，8)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围。
是 ( a．(－1)∪(2，＋∞
b．(－1,2)
c．(－2,1)
d．(－2)∪(1，＋∞
解析 f(x)＝由f(x)的图象可知f(x)在(－∞上是单调递增。
函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2答案 c
5．(2010·淮南调研)若函数f(x)＝x3 (x∈r)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是。
a．单调递减的偶函数b．单调递减的奇函数。
c．单调递增的偶函数d．单调递增的奇函数。
解析 f(x)＝x3 (x∈r)，则函数y＝f(－x)＝－x3 (x∈r)显然在其定义域内是单调递减的奇函数．
答案 b6．(2010·温州一模)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是。
ab. cd.
解析函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－2＋的减区间为，e>1，∴函数f(x)的单调减区间为。
答案 d二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2010·珠海调研)若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3 (x∈r)是偶函数，则f(x)的单调减区间是。
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，(m－1)x2－mx＋3＝(m－1)x2＋mx＋3，m＝0.这时f(x)＝－x2＋3，单调减区间为[0，＋∞
答案 [0，＋∞
8．(2010·汕尾一模)若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m
解析 ∵f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1∴f(x)的增区间为(－1,1)．
又∵f(x)在(m,2m＋1)上单调递增， ∴1≤m≤0.
区间(m,2m＋1)中2m＋1>m，∴m>－1.
综上，－1答案 (－1,0]
9．(2009·山东实验中学第一次诊断)已知定义域为d的函数f(x)，对任意x∈d，存在正数k，都有|f(x)|≤k成立，则称函数f(x)是d上的“有界函数”．已知下列函数：①f(x)＝2sin x；
f(x)＝；f(x)＝1－2x；④f(x)＝，其中是“有界函数”的是写出所有满足要求的函数的序号)
解析 ①中|f(x)|＝2sin x|≤2，②中|f(x)|≤1；
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