课时作业(三十五)
1．下列不等式证明过程正确的是( )
a．若a，b∈r，则＋≥2＝2
b．若x>0，y>0，则lgx＋lgy≥2
c．若x<0，则x＋≥－2＝－4
d．若x<0，则2x＋2－x>2＝2
答案 d解析 ∵x<0，∴2x∈(0,1)，2－x>1，2x＋2－x>2＝2，d正确，而a、b首先不满足“一正”，c应当为“≤”
2．函数y＝log2(x＋＋5)(x>1)的最小值为( )
a．－3b．3
c．4 d．－4
答案 b解析 x＋＋5＝(x－1)＋＋6
2＋6＝2＋6＝8，当且仅当x－1＝即x＝2时取“＝”号．
y＝log2(x＋＋5)≥log28＝3.
3．(2011·陕西文)设0a. ac．a<答案 b
解析代入a＝1，b＝2，则有04．(2012·衡水调研卷)已知函数g(x)＝2x，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab的最大值为( )
a. b.
c．2 d．4
答案 b解析 ∵2a2b＝2a＋b＝2，∴a＋b＝1，ab≤()2＝，故选b.
5．(2012·东北三校模拟)已知正项等比数列满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
a. b.
c. d．不存在。
答案 a解析由题意可知，a5q2＝a5q＋2a5，化简得q2－q－2＝0，解得q＝－1(舍去)或q＝2，又由已知条件＝4a1，得a1qm－1·a1qn－1＝16a，∴qm＋n－2＝16＝24，所以m＋n＝6.所以＋＝(5＋＋)5＋2)＝，当且仅当＝，即n＝2m时取“＝”
6．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的( )
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。
c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。
答案 a解析令p：“a＝” q：“对任意的正数x,2x＋≥1”
若p成立，则a＝，则2x＋＝2x＋≥2＝1，即q成立，pq；
若q成立，则2x2－x＋a≥0恒成立，解得a≥，∴qp.
p是q的充分不必要条件．
7．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈r)的值域为[0，＋∞则＋的最小值为( )
a．4 b．4
c．8 d．8
答案 a解析 ∵f(x)＝ax2＋2x＋c的值域为[0，＋∞则由δ＝0，a>0得c＝，＋a2＋a＋＋
(a2＋)＋a＋)≥4(当且仅当a＝即a＝1时取等号)．
8．(2012·潍坊模拟)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
a．m≥4或m≤－2 b．m≥2或m≤－4
c．－2答案 d
解析 ∵x>0，y>0，且＋＝1，x＋2y＝(x＋2y)(＋4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又＋＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－49．(2012·深圳第一次调研)已知所有的点an(n，an)(n∈n*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像上，则a3＋a7与2a5的大小关系是( )
a．a3＋a7>2a5
b．a3＋a7<2a5
c．a3＋a7＝2a5
d．a3＋a7与2a5的大小关系与a的值有关。
答案 a解析因为所有的点an(n，an)(n∈n*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像上，所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得：a3＋a7>2＝2a5(因为a>0，a≠1，从而等号不成立)，又2a5＝2a5，故选a.
10．(2012·金华十校模拟)有一批材料可以建成200 m长的围墙，若用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为___围墙的厚度不计)．
答案 2500 m2
解析设所围场地的长为x，则宽为，其中011．设x＞0，y＞0，且(x－1)(y－1)≥2，则xy的取值范围为。
答案 [3＋2，＋∞
解析 (x－1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋1≤xy－2＋1，又(x－1)(y－1)≥2，即xy－2＋1≥2，≥＋1，∴xy≥3＋2.
12．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为___
答案 解析 ab≤()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号．
y＝x＋在x∈(0，]上为减函数．
ab＋的最小值为＋4＝.
13．(2010·山东文)已知x，y∈r＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为___
答案 3解析因为1＝＋≥2＝2＝，所以xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号，故xy的最大值为3.
14．已知a、b、c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3，求使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围．
答案 0解析因为a、b都是正实数，log9(9a＋b)＝log3，所以log3(9a＋b)＝log3(ab)，故9a＋b＝ab，故＋＝1，所以4a＋b＝(4a＋b)(＋13＋＋≥13＋2＝25，即4a＋b≥25，当且仅当＝，即b＝6a时等号成立．而c>0，所以要使4a＋b≥c恒成立，c的取值范围为015.
如图，在半径为30 cm的半圆形(o为圆心)铝皮上截取一块矩形材料abcd，其中点a，b在直径上，点c，d在圆周上．
1)怎样截取才能使截得的矩形abcd的面积最大？并求最大面积；
2)若将所截得的矩形铝皮abcd卷成一个以ad为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．
解析 1)连结oc.
设bc＝x，矩形abcd的面积为s.
则ab＝2，其中0所以s＝2x＝2≤x2＋(900－x2)＝900.
当且仅当x2＝900－x2，即x＝15时，s取最大值900 cm2.
答：取bc为15cm时，矩形abcd的面积最大，最大值为900 cm2.
2)设圆柱底面的半径为r，高为x，体积为v.
由ab＝2＝2πr，得r＝，所以v＝πr2x＝(900x－x3)，其中0由v′＝(900－3x2)＝0，得x＝10.
因此v＝(900x－x3)在(0,10)上是增函数，在(10，30)上是减函数．
所以当x＝10时，v取最大值为cm3.
答：取bc为10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3.
1．已知x＞0，y＞0,2x＋y＝1，则xy的最大值为。
答案 解析 2xy≤()2＝，∴xy≤，当且仅当2x＝y即x＝，y＝时取“＝”号．)
xy的最大值为。
2．若x，y∈r，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值___
答案 18解析 3x＋9y≥2＝2·＝2·＝18.
3．(2012·南京一模)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是___
答案 7解析 ∵log2(m－2)＋log2(2n－2)＝log2(m－2)(2n－2)＝3，∴(m－2)(2n－2)＝23＝8，且m－2>0,2n－2>0，4＝(m－2)(n－1)≤(2，∴m＋n≥7.
4．(2011·北京文)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
a．60件 b．80件。
c．100件 d．120件。
答案 b解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝时取等号，即x＝80.
5．(2011·新课标全国理)在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0，－1)，b点在直线y＝－3上，m点满足∥，·m点的轨迹为曲线c.
1)求c的方程；
2)p为c上的动点，l为c在p点处的切线，求o点到l距离的最小值．
解析 (1)设m(x，y)，由已知得b(x，－3)，a(0，－1)．
所以＝(－x，－1－y)，＝0，－3－y)，＝x，－2)．
再由题意可知(＋)0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲线c的方程为y＝x2－2.
2)设p(x0，y0)为曲线c：y＝x2－2上一点，因为y′＝x，所以l的斜率为x0.
因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x＝0.
则o点到l的距离d＝.
又y0＝x－2，所以d＝＝(2，当x0＝0时取等号，所以o点到l距离的最小值为2.
方法技巧专题。
恒成立问题
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