课时作业(二十五)
1．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是( )
a．eb．a＝|a|e
c．a＝－|a|e d．a＝±|a|e
答案 d解析对于a，当a＝0时，没有意义，错误；
对于b、c、d当a＝0时，选项b、c、d都对；
当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选d.
2．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则( )
a．a＝bb．a＝－b
c．|a|＝|b| d．以上都不对。
答案 c3．如图所示，d是△abc的边ab上的中点，则向量等于( )
a．－＋b．－－
c.－ d.＋
答案 a解析 ∵d是ab的中点，∴＝
4．(2012·衡水调研卷)设a、b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b，那么( )
a.与同向，且||>
b.与同向，且||<
c.与反向，且||>
d.∥答案 a
解析 ＝＋2a＋3b＋(－8a－2b)＋(6a－4b)＝－12a－3b，＝－8a－2b，＝，与同向，且||＝
||>故选a.
5．已知p，a，b，c是平面内四点，且＋＋＝那么一定有( )
a.＝2b.＝2
c.＝2 d.＝2
答案 d解析由题意得＋＋＝即＝－2＝2，选d.
6．(2011·上海文)设a1，a2，a3，a4是平面上给定的4个不同点，则使＋＋＋0成立的点m的个数为( )
a．0 b．1
c．2 d．4
答案 b7．在四边形abcd中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形abcd的形状是( )
a．矩形 b．平行四边形。
c．梯形 d．以上都不对。
答案 c解析由已知＝＋＋8a－2b
2(－4a－b)＝2.
∥，又与不平行，∴四边形abcd是梯形．
8．设e是与向量共线的单位向量，＝3e，又向量＝－5e，若＝λ，则。
答案 －解析 ＝＋3e－5e＝－2e，由＝λ·得3e＝λ·2)·e，∴λ
9．已知o为△abc内一点，且＋＋2＝0，则△aoc与△abc的面积之比是___
答案 1:2
解析 如图，取ac中点d.
＝2，＝，o为bd中点，∴面积比为高之比．
10．(2012·苏北四市调研)已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈r)，则a、b、c三点共线的充要条件为___
答案 λ1λ2－1＝0
解析 a、b、c三点共线∥λ1λ2－1×1＝0λ1λ2＝1，故选c
11．已知△abc中，点d在bc边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是___
答案 0解析
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，r＋s＝0.
12．已知：任意四边形abcd中，e、f分别是ad、bc的中点，求证：＝(
答案略。证明如图所示，∵e、f是ad与bc的中点，∴＋0，＋＝0，又∵＋＋0，＝＋
同理 ＝＋由①＋②得，2
如图所示，△abc中，点m是bc的中点，点n在边ac上，且an＝2nc，am与bn相交于点p，求ap∶pm的值．
答案 4∶1
解设＝e1，＝e2，则＝＋＝3e2－e1，＝2e1＋e2，a、p、m和b、p、n分别共线，∴存在λ、μr，使＝λ＝e1－3λe2，＝μ2μe1＋μe2.
故＝－＝2μ)e1＋(3λ＋μe2，而＝＋＝2e1＋3e2，∴，即ap∶pm＝4∶1.
14．(2012·菏泽期末)已知点g是△abo的重心，m是ab边的中点．
1)求＋＋；
2)若pq过△abo的重心g，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
答案 (1)0 (2)略。
解析 (1)解 ∵＋2，又2＝－，0.
2)证明显然＝(a＋b)．
因为g是△abo的重心，所以＝＝(a＋b)．
由p、g、q三点共线，得∥，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.
而＝－＝a＋b)－ma＝(－m)a＋b，－＝nb－(a＋b)＝－a＋(n－)b，所以(－m)a＋b＝λ[a＋(n－)b]．
又因为a、b不共线，所以，消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.
2012·常州期末)如图所示，在△abc中，＝，3，若＝a，＝b，则等于( )
a. a＋b b．－a＋b
c. a＋b d．－a＋b
答案 b解析 ＝＋
－＋＝a＋b.
2．设d、e、f分别是△abc的三边bc、ca、ab上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
a．反向平行b．同向平行。
c．互相垂直 d．既不平行也不垂直。
答案 a解析求解本题应先建立向量＋＋与的线性关系，再根据平面向量的平行和垂直的充要条件进行判断．
由题意，得＝＋，
又＝2，所以＋＝2(＋)所以＝＋.
同理，得＝＋，
将以上三式相加，得＋＋＝故选a.
3．已知四边形abcd是菱形，点p在对角线ac上(不包括端点a，c)的充要条件是＝λ(则λ的取值范围是( )
a．λ∈0,1b．λ∈1,0)
c．λ∈0，) d．λ∈0)
答案 a解析如图，∵点p在对角线ac上(不包括端点a，c)，＝由与同向知，λ>0；
又||<1，∴λ0,1)，反之亦然．
如图，在△abc中，点o是bc的中点．过点o的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n，若＝m，＝n，则m＋n的值为___
答案 2解析 ＝(
＋，m、o、n三点共线，∴＋1，m＋n＝2，故填2.
如图，△abc中，ad＝2bd，ae＝3ec，cd与be交于f，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )
ab．(，cd．(，
答案 a解析设＝λ，则＝＋＝
＋λ(1－λ)同理，设＝μ，则＝＋＝1－μ)对应相等可得λ＝，所以＝＋，故选a.
2．设a、b是不共线的两个非零向量，1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：a、b、c三点共线；
2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
解析 (1)∵＝3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，与共线，且有公共端点b，a、b、c三点共线．
2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，存在实数λ，使得。
8a＋kb)＝λka＋2b)
8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，a与b不共线，∴8＝2λ2λ＝±2，k＝2λ＝±4.
3．设m、n、p是△abc三边上的点，它们使＝，，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．
分析取a、b作为一组基底，根据向量的线性运算表示出向量、、即可．
解析如下图所示，－＝
－＝b－a.
同理可得＝a－b，－＝a＋b.
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