2019届高考一轮数学复习理科课时作业

课时作业(十四)

1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是( )

a．(－0b．(0，＋∞

c．(－1,1) d．(－1)，(1，＋∞

答案 c解析 ∵y′＝3x2－3，∴由3x2－3<0得－1故选c.

2．(2012·沧州七校联考)若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－，则a的取值范围是( )

a．a＞0 b．－1＜a＜0

c．a＞1 d．0＜a＜1

答案 a解析 y′＝a(3x2－1)

解3x2－1＜0得－＜x＜

f(x)＝x3－x在(－，上为减函数。

又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－，

a＞03．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( )

a．(0，) b．(，

cd．(－a)

答案 a解析由f′(x)＝－a>0，得0∴f(x)的单调递增区间为(0，)．

4．若函数f(x)＝x＋asinx在r上递增，则实数a的取值范围为( )

a．(－0) b．(0，＋∞

c．[－1,1] d．(1,2)

答案 c解析 ∵f′(x)＝1＋acosx，∴要使函数f(x)＝x＋asinx

在r上递增，则1＋acosx≥0对任意实数x都成立．

－1≤cosx≤1，当a>0时，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0②当a＝0时适合；

当a<0时，a≤acosx≤－a，∴a≥－1，∴－1≤a<0.

综上，－1≤a≤1.

5．已知函数f(x)(x∈r)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是( )

a．[－1b．(－2]

c．(－1)和(1,2) d．[2，＋∞

答案 c解析根据函数f(x)(x∈r)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或16．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当aa．f(x)>g(x)

b．f(x)c．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)

d．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)

答案 c解析 ∵f′(x)>g′(x)，∴f(x)－g(x)]′0，f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数．

f(a)－g(a)即f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．

7．函数f(x)在定义域r内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则( )

a．ac．c答案 b

解析由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)，又x∈(－1)时，(x－1)f′(x)<0，可知f′(x)>0，即f(x)在(－∞1)上单调递增，f(－1)8．(2012·山东师大附中)f(x)为定义在r上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是( )

a．f(a)eaf(0)

c．f(a)< d．f(a)>

答案 b解析令g(x)＝，g′(x)＝＝0，g(x)在r上为增函数，又∵a>0.

g(a)>g(0)即》，即f(a)>eaf(0)．

9．函数y＝x－2sinx 在(0,2π)内的单调增区间为___

答案 (，解析 ∵y′＝1－2cosx，∴由。

即得∴函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的增区间为(，)

10．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在r上不是单调递增函数，则b的范围是___

答案 b<－1或b>2

解析假设y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在r上是单调递增函数，则f′(x)＝y′≥0恒成立．

即x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，所以δ＝4b2－4(b＋2)≤0成立，解得－1≤b≤2，故所求为b>2或b<－1.

11．函数f(x)的定义域为r，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为___

答案 (2，＋∞

解析令g(x)＝f(x)－x，g′(x)＝f′(x)－1，由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数，g(2)＝f(2)－2＝0，g(x)>0的解集为(2，＋∞

12．(2012·宁波十校联考)已知函数f(x)＝xsinx，x∈r，f(－4)，f()，f(－)的大小关系为___用“<”连接)．

答案 f()解析 f′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈[，时，sinx<0，cosx<0，f′(x)＝sinx＋xcosx<0，则函数f(x)在x∈[，时为减函数，f()∴f()13．求函数f(x)＝x(ex－1)－的单调区间．

答案在(－∞1]，[0，＋∞上单调递增，在[－1,0]上单调递减．

解析 f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞时，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞1]，[0，＋∞上单调递增，在[－1,0]上单调递减．

14．(2011·天津文)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈r，其中t∈r.

当t≠0时，求f(x)的单调区间．

解析 f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.因为t≠0，以下分两种情况讨论：

1)若t<0，则<－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，f(x)的单调递增区间是(－∞t，＋∞f(x)的单调递减区间是(，－t)．

2)若t>0，则－t<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以，f(x)的单调递增区间是(－∞t)，(f(x)的单调递减区间是(－t，)．

15．已知f(x)＝ex－ax－1.

1)求f(x)的单调增区间；

2)若f(x)在定义域r内单调递增，求a的取值范围；

3)是否存在a，使f(x)在(－∞0]上单调递减，在[0，＋∞上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解析 f′(x)＝ex－a.

1)若a≤0，f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即f(x)在r上递增．

若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.

f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞

2)∵f(x)在r内单调递增，∴f′(x)≥0在r上恒成立，ex－a≥0，即a≤ex在r上恒成立，a≤(ex)min.又∵ex>0，∴a≤0.

3)由题意知ex－a≤0在(－∞0]上恒成立，a≥ex在(－∞0]上恒成立．

ex在(－∞0]上为增函数，x＝0时，ex最大为1，∴a≥1.

同理可知ex－a≥0在[0，＋∞上恒成立，a≤ex在[0，＋∞上恒成立，∴a≤1.

综上可知：a＝1即存在a＝1满足条件．

1．设f(x)、g(x)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )

a．(－3,0)∪(3b．(－3,0)∪(0,3)

c．(－3)∪(3，＋∞d．(－3)∪(0,3)

答案 d解析 f(x)、g(x)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，f(x)·g(x)为奇函数，x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，即x＜0时，[f(x)·g(x)]′0.

f(x)·g(x)为增函数，且f(－3)·g(－3)＝0.

根据函数性质可知，f(x)·g(x)＜0的解集为。

2．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是( )

a．(2,4) b．(－3，－1)

c．(1,3) d．(0,2)

答案 d解析由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1,3)时，f′(x)<0.函数f(x)在(1,3)上为减函数，函数f(x＋1)的图像是由函数y＝f(x)图像向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y＝f(x＋1)的单调减区间．

3．(2012·南京一调)设曲线y＝x2＋1在其任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝g(x)·cosx的部分图像可以为( )

答案 a解析 g(x)＝2x，y＝2x·cosx此函数为奇函数，排除b、d，当x∈(0，)时，y>0，排除c选a.

4．设函数f(x)＝x2－1＋cosx(a>0)．

1)当a＝1时，证明：函数y＝f(x)在(0，＋∞上是增函数；

2)若y＝f(x)在(0，＋∞上是单调增函数，求正数a的范围．

答案 (1)略 (2)a≥1

解析 (1)证明：当a＝1时，f(x)＝x2－1＋cosx，令g(x)＝f′(x)＝x－sinx，g′(x)＝1－cosx≥0，x∈(0，＋∞恒成立．

y＝g(x)在(0，＋∞上是增函数．

g(x)>g(0)＝0.

f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞为增函数．

2)f(x)＝x2－1＋cosx，令h(x)＝f′(x)＝ax－sinx.

y＝f(x)在(0，＋∞上单增，ax－sinx>0恒成立．

当a≥1时，x∈(0，＋∞恒有ax≥x>sinx，满足条件．

当0令h′(x)＝0得cosx＝a，在(0，)内存在x0，使得cosx0＝a.

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