课时作业(四十)
1．一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体的对角线是( )
a．2b．3
c．6 d.
答案 d解析设长方体共一顶点的三棱长分别为a、b、c，则ab＝，bc＝，ac＝，解得：a＝，b＝1，c＝，故对角线长l＝＝.
2．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( )
a．6π(4π＋3) b．8π(3π＋1)
c．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) d．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
答案 c解析分清哪个为母线，哪个为底面圆周长，应分类讨论．
3．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )
a．2 b.
c. d.
答案 d解析由题意知v＝πr3＝，∴r＝2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a，则体对角线l＝a＝4，a＝.
4．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为( )
a．7 b．6
c．3 d．9
答案 a解析原正四面体的表面积为4×＝9，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×＝2，故所得几何体的表面积为7.故选a.
5．(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
a．8－ b．8－
c．8－2π d.
答案 a解析圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即v＝22×2－×π12×2＝8－π，正确选项为a.
6．(2011·广东理)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )
a．18 b．12
c．9 d．6答案 c
解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故v＝3×3×＝9.
7．(2010·北京)如图，正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为2，动点e，f在棱a1b1上，动点p，q分别在棱ad，cd上．若ef＝1，a1e＝x，dq＝y，dp＝z(x，y，z大于零)，则四面体pefq的体积( )
a．与x，y，z都有关。
b．与x有关，与y，z无关。
c．与y有关，与x，z无关。
d．与z有关，与x，y无关。
答案 d解析由于点q到直线a1b1的距离为2，ef＝1，故△efq的面积为定值，所以这个三角形的面积与x，y无关，由于点p到平面efq的距离等于点p到平面a1b1cd的距离，这个距离等于点p到直线a1d的距离，等于z，故四面体pefq的体积为××1×2×z＝z，故四面体pefq的体积只与z有关，与x，y无关．
8. 如图所示，正四棱锥p－abcd底面的四个顶点a、b、c、d在球o的同一个大圆上，点p在球面上．如果vp－abcd＝，则球o的表面积是( )
a．4π b．8π
c．12π d．16π
答案 d9．(2011·山西四校第二次联考)四棱锥p－abcd的顶点p在底面abcd中的投影恰好是a，其三视图如下图所示，则四棱锥p－abcd的表面积为___
答案 (2＋)a2
解析依题意得知，在该四棱锥中，pa⊥底面abcd，pa＝a，底面四边形abcd是边长为a的正方形，因此有pd⊥cd，pb⊥bc，pb＝pd＝a，所以该四棱锥的表面积等于a2＋2×a2＋2××a×a＝(2＋)a2.
10. 如图所示，在长方体abcd－a′b′c′d′中，用截面截下一个棱锥c－a′dd′，求棱锥c－a′dd′的体积与剩余部分的体积之比为___
解析方法一设ab＝a，ad＝b，dd′＝c，则长方体abcd－a′b′c′d′的体积v＝abc.
又s△a′dd′＝bc，且三棱锥c－a′dd′的高为cd＝a.
v三棱锥c－a′dd′＝s△a′dd′·cd＝abc.
则剩余部分的几何体积v剩＝abc－abc＝abc.
故v棱锥c－a′d′d∶v剩＝abc∶abc＝1∶5.
方法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱add′a′－bcc′b′，设它的底面add′a′面积为s，高为h，则它的体积为v＝sh.
而棱锥c－a′dd′的底面面积为s，高是h，因此，棱锥c－a′dd′的体积。
vc－a′dd′＝×sh＝sh.
余下的体积是sh－sh＝sh.
所以棱锥c－a′dd′的体积与剩余部分的体积之比为。
sh∶sh＝1∶5.
11．已知一个圆锥的展开图如上图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为___
答案 解析因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积v＝×π12×2＝.
12．已知a(0,0)，b(1,0)，c(2,1)，d(0,3)，四边形abcd绕y轴旋转210°，则所得几何体的体积为___
答案 解析如图，∵v圆锥＝π·22·2＝π.
v圆台＝π·1·(22＋2×1＋12)＝π四边形abcd绕y轴旋转360°所得几何体的体积为＋＝5π.
绕y轴旋转210°所得几何体的体积为×5π＝.
13．(2011·全国新课标文)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___
答案 解析设球心为o1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为o2，半径为r2，则有×4πr＝πr，即r2＝r1，所以o1o2＝＝，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2，则＝＝.
14．已知六棱锥p－abcdef，其中底面为正六边形，点p在底面上的投影为正六边形中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm，求六棱锥p－abcdef的体积．
答案 2解析
如图，o为正六边形中心，则po为六棱锥的高，g为cd中点，则pg为六棱锥的斜高，由已知得：cd＝2 cm，则og＝，cg＝1，在rt△pcg中，pc＝3，cg＝1，则。
pg＝＝2.
在rt△pog中，pg＝2，og＝，则。
po＝＝.或直接用：po＝＝＝
vp－abcdef＝sabcdef·po＝×6××22×＝2.
15．棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积．
答案 πa2
解析 以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体，则该正四面体的外接球也就是正方体的外接球．由图知正方体的棱长为a，正方体的对角线长为a，设正四面体的外接球的半径为r，则2r＝a，∴r＝a，于是球的表面积s＝4π·(a)2＝πa2.
1．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为___
答案 18a2
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则高应为___
答案 解析设圆锥底面半径为r，高为h，则h2＋r2＝202，∴r＝，∴圆锥体积v＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，令v′＝π400－3h2)＝0得h＝，当h《时，v′>0；当h>时，v′<0，∴h＝时，体积最大．
3. (2011·湖南文)如下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
a．9π＋42
b．36π＋18
c.π＋12
d.π＋18
答案 d解析这个空间几何体上半部分是一个半径为的球，下半部分是一个底面正方形边长为3、高为2的正四棱柱，故其体积为×()3＋3×3×2＝＋18.
4．(2011·辽宁文)已知球的直径sc＝4，a，b是该球球面上的两点，ab＝2，∠asc＝∠bsc＝45°，则棱锥s－abc的体积为( )
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