长春市2012～2013学年度第一学期期末调研测试。
高二数学试题（文科）答案。
一、选择题。
1．c命题立意】本题主要考查充分必要条件的意义，不等式的基本性质，以及在具体问题中如何恰当地运用所学的相关知识进行判定的能力，从而达到综合考查数学知识的目的。
解析】由且易得且；反过来，由得同号，又，所以同负，即且。因此，“且”是“且”的充分必要条件。
2．c 【命题立意】本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质及分析问题和解决问题的能力。
解析】由得抛物线的标准方程为，所以准线方程为，解得。
3．a 【命题立意】本题主要考查等比数列中基本量的计算及运算求解能力。
解析】由已知可得，所以，解得。
解得。本题也可用等比数列的前项和的性质：成等比数列进行求解）
4．d 【命题立意】本题主要考查利用导数求函数的最值以及运算求解能力。
解析】令得，.又，所以的最小值为0.
5．a 【命题立意】本题主要考查直角三角形中的边角关系，考查分析问题、解决问题的能力以及数形结合的数学思想。
解析】设塔高为h,山高m，所以，则。
所以塔高为m.
6．d 【命题立意】本题主要考查导数的四则运算法则。
解析】.7．b 【命题立意】本题主要考查含有一个量词的命题的否定。
解析】全称命题的否定是特称命题。
8．b 【命题立意】本题主要考查正弦定理及基本的运算能力。
解析】由正弦定理得，解得。
9．a 【命题立意】本题主要考查椭圆的定义、简单几何性质及分析问题、解决问题的能力。
解析】由椭圆的方程易得椭圆的长轴为8，短轴为，所以焦距。又因为是椭圆上的一点，由椭圆的定义可得，，又，所以。所以，故△是直角三角形。
10．c 【命题立意】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义以及运算求解能力。
解析】，则，解得。
11．c 【命题立意】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，特别是离心率的求法，同时考查运算求解能力。
解析】由已知得，解得，所以椭圆和双曲线离心率的平方和为。
12．d 【命题立意】本题主要考查数列的求和方法。
解析】.二、填空题。
13．36 【命题立意】本题主要考查利用基本不等式求相关代数式的最值问题。
解析】，≥36（当且仅当，即时取等号）. 的最小值是36.
14．－6 【命题立意】本题主要考查线性规划问题的求解方法。
解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线，平移该直线，当直线经过该平面区域内的点（3，）时，相应直线在轴上的截距最小，此时取最小值，最小值是。
15． 【命题立意】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调区间问题。
解析】由函数的单调递减区间为可得，不等式的解集为，而当时，，所以。
命题立意】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质以及化归与转化的能力。
解析】由已知得双曲线的半焦距，且，所以<3，，解得，又，所以。
三、解答题。
17．（本小题满分10分）
命题立意】本题主要考查等差数列的通项公式及前项和最值的求法。
解析】1）由已知得，，解得，所以数列的通项公式为5分。
2）由（1）知，.
当时，取得最大值10分。
18．（本小题满分10分）
命题立意】本题主要考查解三角形时常用的两个定理：正弦定理和余弦定理以及基本不等式的知识，同时考查分析问题和解决问题的能力。
解析】1）由已知及正弦定理得．∴
4分。2）由（1）知。
又∵，∴即（当且仅当时取“=”即当时，△的面积取最大值．
……10分。
19．（本小题满分12分）
命题立意】本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线和双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，并考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及分析问题、解决问题的能力和运算求解能力。
解析】1）抛物线的标准方程为4分。
2）使得恰为弦的中点的直线存在．理由如下：
由于以点为中点的直线斜率必存在，设为，则的方程为：，即。
将的方程与抛物线的方程联立，消去x得： ①
设，，则是方程①的解。
且，又由韦达定理得，，.
经验证时，方程①的成立，直线的方程为。……12分。
本题也可用点差法求解）
20．（本小题满分12分）
a） 【命题立意】本题综合考查应用导数研究函数的单调性和极值、不等式等知识，考查转化与化归思想、运算求解能力和推理论证能力。
解析】 （1），∴当时，取最小值，即。……4分。
2）令， 由得或（舍去）.
当变化时，随的变化情况如下表：
所以，在内有最大值。
对恒成立，即对恒成立，所以只须即可，即，所以的取值范围是。 …12分。
b）命题立意】本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调区间和极值问题，同时又考查运算求解能力和综合分析及解决问题的能力。
解析】1），由是极值点，得。
又，所以。③
联立①②③得4分。
2）由（1）得，所以。
令得。当变化时，随的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间是；单调递减区间是。
当时，有极大值；
当时，有极小值12分。
21．（本小题满分12分）
a）命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量与解析几何的结合等知识，考查综合运用知识解决问题的能力，考查运算求解能力和研究问题的能力。
解析】1）由已知得，由，有，则有4分。
2）设直线为，直线与椭圆的交点为，由（1）可得，由，得，且。，即，则，因此椭圆的方程为12分。
b）命题立意】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，考查综合运用知识解决问题的能力以及运算求解能力。
解析】1）由题意，设该椭圆方程为，根据条件有，所以椭圆的方程为，离心率为4分。
2）设直线的方程为，联立椭圆方程，消去得，.
由韦达定理得： …
又，即，而，于是有：……
由①②③得，，解得，经检验符合题意。
所以直线的方程为12分。
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