2014—2015学年度第一学期期末抽测。
高二数学（理）试题参***。
一、填空题：
1． 2． 3． 4． 5．是自然数 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题：
15．⑴由，得2分。
所以6分。因为，所以10分。
因为对应的点在第一象限，所以解得．
所以，实数的取值范围是14分。
16．⑴展开式的第项为：
………4分。
当时，，即，所以8分。
因为10分。
当且仅当，时，为整数12分。
所以，有理项为14分。
172分。矩阵的特征多项式为，
令，得到的特征值为4分。
将代入方程组解得。
所以矩阵的属于特征值的一个特征向量为6分。
再将代入方程组解得，所以矩阵的属于特征值的一个特征向量为．……8分。
设是圆上任意一点，它在经过矩阵对应的变换后得到点，由，得12分。
解得。代入，整理得，即为所求．……14分。
18．⑴曲线的普通方程为3分。
直线的直角坐标方程为6分。
当时，曲线的方程为，表示圆．
当曲线与直线相切时10分。
当，时．曲线为椭圆．
设是椭圆上一点，到直线的距离。
14分。所以16分。
19．⑴4种颜色的小球放置在5个不同的盒子中，共有种放法．……2分。
满足条件的发放分为两类：
每个盒子中颜色都相同，共有4种；
由两种颜色组成，共有种．
所以，所求概率为6分。
的可能取值为2，3，4，5．
则， 所以，的概率分布为：
14分。所以16分。
202分。设，则．
又，所以6分。
假设存在常数，，使对一切且恒成立，则。
即，①即，②
由，得，，从而，代入①、②解得，．
所以，猜想（且10分。
证明：①当时，由前面推导知，等式成立；
假设（，）时等式成立，即．……12分。则当时，所以时等式成立．
由①②可知，存在，，使对一切，且恒成立16分。
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