高二数学下期末考试综合练习（1）
高二班学号姓名成绩。
一、填空题。
2、若，，则与的位置关系为。
3、设正三棱椎的底边长为，高为，则侧棱与底面所成角的大小为。
4、在等比数列中，公比为且，若，，则。
解：，，因为，解得，，所以。
5、已知，，，则当最大时与的夹角。
解： 当时，最大。
此时，代入得，。
因为，所以与的夹角。
6、如图为一几何体的展开图，其中是边长为的正方形，，，点及共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使四点重合，则需要个这样的几何体，可以拼成一个棱长为的正方体。
解： 折叠后的样子三个四棱锥的拼法。
7、 用种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有种。（用数字作答）
8、 如图，直三棱柱中，，，上有一动点，则周长的最小值是。
解：，要使最小，须将图展开，连接交于，此时。
所以周长的最小值是。
9、件产品，其中件是**，件是次品，从中任抽两件最多件是次品的概率等于。
10、若在从到这个整数中任取个数 ，则所取的两数和为偶数的概率为。
11、已知数列是由正整数组成的数列，，且满足，其中，，且，则。
解：当时， ，
所以。12、在锐角的二面角，，，若与所成角为，则二面角为。
解：如图，作，交于。过作，垂足为，连接。
设，则，。因为，所以，则。
二、选择题。
13、从单词“”选取个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有个数为（）
解：。14、探索以下的规律。
则根据规律，从到，箭头的方向依次为（）
解：以4为周期，故从到相当于从2到4。
15、若是直三棱柱，，点、分别是、的中点，且，则与所成角的余弦值是（）
解：建立空间直角坐标系如图，设，，，
于是，，则。
所以与所成角的余弦值是。
16、图中多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面而截得的。已知，截面与底面成的二面角，，则这个多面体的体积为（）
解：过作，，联结、。
取中点，联结、。
平面，所以截面与平面所成的二面角为。
为中点，。，即，则。
同理得。于是多面体体积。
三、解答题。
17、如图，垂直正方形所在平面，，是的中点，向量、的夹角为。
1）建立适当的坐标系，求点的坐标；
2）在上找一点，使平面。
解：（1）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，则，。设（），
于是，。由题意得，解得或（舍）。
所以点的坐标为。
2）设点的坐标为，则。
要使平面。所以点的坐标为，即点为的中点。
18、直三棱柱中，，。
1）证明：；
2）求点到平面的距离；
3）求二面角的大小。解：（1）
2）设点到平面的距离为，因为，，又平面，则，平面。
同理得平面，所以。
于是。因为，所以。
故点到平面的距离为。
3）取中点，联结，过作交于，联结。
是等腰三角形，。
又平面，，所以平面。
于是，又，平面，得。
因此，为二面角的平面角。，即。
所以二面角的大小为。
另解：（空间向量）
1）建立空间直角坐标系如图，则，，，
于是，。则，所以。
2）设是平面的法向量，由，，得。
所以。令，则。
又，所以到平面的距离。
3）设是平面的法向量，由，得，所以。
令，则。因为，所以，二面角的平面角的大小为。
19、已知数列满足（，且），其前项和。
1）求证：为等比数列；
2）记（），为数列的前项和。当时，求。
证明：（1）当时，整理得，，所以是以为首项，为公比的等比数列。
于是。2）因为，。
当时，两式相减得，
又，所以， 。
20、已知数列满足，其中为其前项的和，。
1）证明：数列的通项公式为；
2）求数列的前项和；
3）是否存在无限集合为正整数}， 总有《成立；若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。
证明（1）当时，整理得。
于是，2），3）要使，即，只需即可。
所以，。
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