高二数学圆的方程

圆的方程（3）

教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；

2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；

3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．

教学重、难点：目标2，3．

教学过程：一）复习：写出圆的标准方程：．

二）新课讲解：

1．圆的一般方程。

将上述标准方程展开，整理，得，可见，任何一个圆的方程都可以写成。

的形式。反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）

将①配方得。

把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：

（1）当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；

（2）当时，方程①表示一个点；

（3）当时，方程①不表示任何图形．

结论：当时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．

2．圆的一般方程形式上的特点：

（1）和的系数相同，且不等于；

（2）没有这样的二次项．

以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．

说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了．

三）例题分析：

例1．求过三点、、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．

解：设所求的圆方程为，∵、在圆上，解得，所求的圆方程为，圆心坐标为，半径为．

注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为；

本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、、，求的外接圆的方程．

例2．已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．

解：设是曲线上任意一点，由题意：，∴化简得， ①

这就是所求的曲线方程．

把方程①配方得：，所以方程①的曲线是以为圆心，为半径的圆．（作图）

注意：本题也可以一般化。

已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．

提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：

要注意讨论对曲线的形状的影响．

例3．已知圆与直线相交于、两点，定点，若。

求实数的值．

解：设、，由，消去得：，

由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，由韦答定理：，∵即，即，∴，代入②得：，即，，适合，所以，实数的值为．

五．课堂练习：．

六．小结：1．圆的一般方程及其形式特点；

2．求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标，则宜用一般方程．

七．作业：课本第82页习题。

补充：1．若圆与直线的交点为、，且（为原点），求的值．

2．已知圆：，直线：，1）证明：不论取何实数，直线与圆恒相交；

2）求直线被圆截得的线段的最短长度及此时直线的方程．

高二数学圆的方程

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