高二年级数学寒假作业（4）
2023年1月28日—1月30日完成。
空间几何体及其表面积和体积）
一、填空题。
1、长方体三个面的面积分别为、和，则长方体的体积是 .
2、侧棱长为、高为的正四棱锥的底面积为 .
3、正三棱台的上、下底面边长分别为、，高为，则其体积___
4、一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离为，则球的体积为___
5、将两个棱长为的正方体铜块熔化后铸成底面边长为的正四棱柱，则该四棱柱的高为___不计损耗)．
6、如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为___
7、体积为的一个正方体，其表面积与球的表面积相等，则球的体积等于___
8、若等腰直角三角形的直角边长为，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是。
9、如图，在等腰梯形中，，，为的中点．将与分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为___
10、在三棱锥a－bcd中，侧棱、、两两垂直，△，的面积分别为，则该三棱锥的体积为___
11、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是___
12、(2023年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为___
13、(2023年南京调研)如图，在正三棱柱中，为棱的中点．若截面是面积为的直
角三角形，则此三棱柱的体积为___
14、已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为 .
二、解答题。
15、如图所示，长方体的对角线的长为，，，求这个长方体的体积．
16、正四棱柱的体对角线长为，它的表面积为，求它的体积．
17、如图，梯形中，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
18、如图所示，在斜三棱柱中， ，侧棱与底面所成的角为，，.求斜三棱柱的体积。
19、(2023年广州质检)如图，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于、的任意一点，.
1)求证：平面；
2)求三棱锥的体积的最大值．
20、在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为。
1)证明：直线∥平面；
2)求棱的长；
3)求经过、、,四点的球的表面积．
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