高二数学圆的方程

圆的方程（4）

教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为的圆的参数方程；

2.理解参数的意义；

3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；

4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．

教学重、难点：目标
．

教学过程：一）复习：圆的标准方程和一般方程．

二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）

1．圆的参数方程的推导。

设圆的圆心在原点，半径是，圆与轴的正半轴的交点是，设点在圆上从开始按逆时针方向运动到达点，，则点的位置与旋转角有密切的关系：

当确定时，点在圆上的位置也随着确定；

当变化时，点在圆上的位置也随着变化．

这说明，点的坐标随着的变化而变化．

设点的坐标是，你能否将、分别表示成以为自变量的函数？

根据三角函数的定义。

显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在圆上。

我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为的圆的参数方程，是参数．

圆心为，半径为的圆的参数方程是怎样的？

圆可以看成由圆按向量平移得到的（如图），由可以得到圆心为，半径为的圆的参数方程是（为参数）②

2．参数方程的概念。

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即 ③

并且对于的每一个允许值，方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系、之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．

3．参数方程和普通方程的互化。

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标、关系的方程，叫做曲线的普通方程．

将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．

如：将圆的参数方程②的参数消去，就得到圆的普通方程．

4．练习：，练习1，2．

三）例题分析：

例1．把下列参数方程化为普通方程：

1） （为参数） （2） （为参数）

解：（1），由得，这就是所求的普通方程．

2）由原方程组得，把代入得，化简得：（）这就是所求的普通方程．

说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与、的取值范围之间的制约关系，保持等价性．

例2．如图，已知点是圆上的一个动点，定点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？

解：设点，∵圆的参数方程为，设点，由线段中点坐标公式得，即点轨迹的参数方程为，点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．

思考】：这个问题不用参数方程怎么解？

又解：设，∵点是线段的中点，∴，点在圆上，∴，即点的轨迹方程为，点的轨迹是以点为圆心、为半径的圆．

例3．已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．

解：原方程配方得：，它表示以为圆心，为半径的圆，用参数方程可表示为（为参数，），1），∴当，即时，．

2），∴当，即时，．

说明：本题也可数形结合解．

五．小结：1．圆心为原点、半径为的圆的参数方程，（为参数）；

2．圆心为，半径为的圆的参数方程（为参数）；

3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．

六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；

补充：已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上任意一点，求的取值范围．

高二数学圆的方程

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