课时作业(二十二) 圆的标准方程。
a组基础巩固。
1．以两点a(－3，－1)和b(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
a．(x－1)2＋(y－2)2＝10
b．(x－1)2＋(y－2)2＝100
c．(x－1)2＋(y－2)2＝5
d．(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析：圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
答案：d2．方程y＝表示的曲线是( )
a．一条射线 b．一个圆。
c．两条射线 d．半个圆。
解析：y＝可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．
答案：d3．△abc的三个顶点的坐标分别为a(1,0)，b(3,0)，c(3,4)，则△abc的外接圆方程是( )
a．(x－2)2＋(y－2)2＝20
b．(x－2)2＋(y－2)2＝10
c．(x－2)2＋(y－2)2＝5
d．(x－2)2＋(y－2)2＝
解析：易知△abc是直角三角形，∠b＝90°，所以圆心是斜边ac的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
答案：c4．圆心为c(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是( )
a．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
b．(x－1)2＋(y＋2)2＝20
c．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
d．(x＋1)2＋(y－2)2＝20
解析：本题考查确定圆的方法．因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝＝，又圆心为c(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选c.
答案：c5．设p是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，q是直线x＝－3上的动点，则|pq|的最小值为( )
a．6 b．4
c．3 d．2
解析：本题考查圆的性质．由题意，知|pq|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|pq|的最小值为6－2＝4，故选b.
答案：b6．若直线y＝ax＋b经过第。
一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
a．第一象限 b．第二象限。
c．第三象限 d．第四象限。
解析：本题考查圆的圆心坐标的位置判断．因为直线y＝ax＋b经过第。
一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，所以圆心(－a，－b)在第四象限，故选d.
答案：d7．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝1关于原点对称的圆的方程是。
解析：本题考查圆的性质．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标为(－2，－3)，半径为1，则关于原点对称的圆的圆心坐标为(2,3)，半径不变，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－3)2＝1
8．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是。
解析：由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.
答案：0≤a＜1
9．圆x2＋y2＝4上的点到点a(3,4)的距离的最大值和最小值分别为___
解析：∵32＋42＝25>4，∴点a(3,4)在圆外．已知圆的半径r＝2，|oa|＝＝5.结合图形可知，圆上的点到点a(3,4)的距离的最大值为|oa|＋r＝7，最小值|oa|－r＝3.
答案：7和3
10．已知圆心在x轴上的圆c与y轴交于两点a(1,0)，b(5,0)．
1)求此圆的标准方程；
2)设p(x，y)为圆c上任意一点，求点p(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
解析：(1)由题意，结合图(1)可知圆心(3,0)，r＝2，所以圆c的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
2)如图(2)所示，过点c作cd垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为d.
由点到直线的距离公式可得|cd|＝＝2.
又p(x，y)是圆c上的任意一点，而圆c的半径为2.结合图形易知点p到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.
图(1) 图(2)
b组能力提升。
11．已知圆c：x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0和定点a(1,2)，要使过点a的圆c的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是( )
a．(－b．(－
cd．(0，＋∞
解析：本题主要考查点与圆的位置关系．通过配方可得圆c的标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝.由题意知点a(1,2)在圆外，得(1＋2)＋(2＋1)2＞＞0，解得－＜a＜，即实数a的取值范围是(－，故选a.
答案：a12．已知圆m的圆心坐标为(3,4)，且a(－1,1)，b(1,0)，c(－2,3)三点一个在圆m内，一个在圆m上，一个在圆m外，则圆m的方程为。
解析：本题考查点与圆的位置关系．∵|ma|＝＝5，|mb|＝＝2，|mc|＝＝mb|＜|ma|＜|mc|，∴点b在圆m内，点a在圆m上，点c在圆m外，∴圆的半径r＝|ma|＝5，∴圆m的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25
13．已知圆c：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点a(－1,1)经x轴反射到圆周上，求光线的最短路程，并求此时的反射光线和入射光线的方程．
解析：如图，作点a(－1,1)关于x轴的对称点a′(－1，－1)，连接a′c，交x轴于点b，连接ab.由平面几何的知识可知，光线从点a经x轴反射到圆周上的最短路程等于|a′c|－r.
圆c：(x－5)2＋(y－7)2＝4的圆心为(5,7)，半径为2.|a′c|＝＝10，该最短距离为10－2＝8.
由直线方程的两点式得，反射光线a′c的方程为＝，即4x－3y＋1＝0.同理，作c点关于x轴的对称点c′(5，－7)，连接ac′，ac′即为入射光线，其方程为＝，即4x＋3y＋1＝0.
14．平面直角坐标系中有a(0,1)，b(2,1)，c(3,4)，d(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上，为什么？
解析：设过a(0,1)，b(2,1)，c(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将a，b，c三点的坐标分别代入有。
解得。圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将d(－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边，－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即d点坐标适合此圆的方程．
故a，b，c，d四点在同一圆上．
圆的标准方程作业
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