时间：45分钟满分：100分。
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．双曲线－＝1的焦点坐标为( )
a．(－0)，(0) b．(0，－)0，)
c．(－5,0)，(5,0) d．(0，－5)，(0,5)
答案】 c解析】 ∵a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5，又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(5,0)和(－5,0)．故选c.
2．设动点m到a(－5,0)的距离与它到b(5,0)的距离的差等于6，则p点的轨迹方程是( )
a.－＝1 b.－＝1
c.－＝1(x≤－3) d.－＝1(x≥3)
答案】 d解析】 由题意得点m到a点的距离大于到b点的距离，且|ma|－|mb|<10，所以动点m的轨迹是双曲线的右支．
3．已知定点a，b，且|ab|＝4，动点p满足|pa|－|pb|＝3，则|pa|的最小值为( )
a. b.
c. d．5
答案】 c解析】
点p的轨迹是以a，b为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当p与双曲线右支顶点m重合时，|pa|最小，最小值为a＋c＝＋2＝，故选c.
4．已知点f1(－，0)、f2(，0)，动点p满足|pf2|－|pf1|＝2.当点p的纵坐标是时，点p到坐标原点的距离是( )
a. b.
c. d．2
答案】 a解析】 由题意知，点p的轨迹是双曲线的左支，c＝，a＝1，b＝1，∴双曲线的方程为x2－y2＝1，把y＝代入双曲线方程，得x2＝1＋＝.
|op|2＝x2＋y2＝＋＝op|＝.
5．已知双曲线－＝1上一点p到焦点f1的距离为8，则p到焦点f2的距离为( )
a．2 b．2或14
c．14 d．16
答案】 b解析】 如图，设f1、f2分别是双曲线的左、右焦点，由已知得a＝3，b＝4，c＝5，双曲线右顶点到左焦点f1的距离为a＋c＝8，点p在双曲线右顶点时，|pf2|＝c－a＝5－3＝2，当点p在双曲线左支上时，|pf2|－|pf1|＝2a＝6，|pf2|＝|pf1|＋6＝8＋6＝14.
6．设f1、f2为双曲线－＝1的两个焦点，p(3,1)是双曲线内的一点，点a是双曲线上一动点，则|ap|＋|af2|的最小值为( )
a.＋4 b.－4
c.－2 d.＋2
答案】 c解析】 如图，连接f1p交双曲线右支于点a0，∵|ap|＋|af2|＝|ap|＋|af1|－2，∴要求|ap|＋|af2|的最小值，只需求|ap|＋|af1|的最小值，当a落在a0时，|ap|＋|af1|＝|pf1|最小，最小值为，∴|ap|＋|af2|的最小值为－2.
二、填空题(每小题10分，共30分)
7．已知双曲线c：－＝1的左、右焦点分别为f1、f2，p为双曲线c的右支上一点，且|pf2|＝|f1f2|，则△pf1f2的面积等于___
答案】 48
解析】 由题意知|f1f2|＝|pf2|＝10且|pf1|－|pf2|＝6.∴|pf1|＝16.
由勾股定理得pf1上的高h＝＝6.
△pf1f2的面积s＝h·|pf1|＝×6×16＝48.
8．已知双曲线的一个焦点为f1(－，0)，点p位于该双曲线上，线段pf1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是。
答案】 x2－＝1
解析】 因为线段pf1的中点坐标为(0,2)，所以p点坐标为(，4)，又因为焦点在x轴上，且c＝，所以设双曲线的标准方程为－＝1，将(，4)代入得－＝1，解得a2＝25或a2＝1，由c>a知a＝1，此时b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
9．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为___
答案】 解析】 ∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，c＝，弦所在直线方程为x＝，由得y2＝，∴y|＝，弦长为。
三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(13分)双曲线－＝1的两个焦点为f1、f2，点p是双曲线上的点．若pf1⊥pf2，则点p到x轴的距离是多少？
解析】 解法一：由题意得f1(－5,0)、f2(5,0)，设p的坐标是(x0，y0)，又pf1⊥pf2，则|pf1|2＋|pf2|2＝|f1f2|2，解得|y0|＝，p到x轴的距离为。
解法二：以o为圆心，以＝5为半径作圆x2＋y2＝25，与－＝1联立得。
解得y2＝，即|y|＝.
p到x轴的距离为。
11．(13分)已知－＝－1，求当k为何值时：①方程表示双曲线；②方程表示焦点在x轴上的双曲线；③方程表示焦点在y轴上的双曲线．
分析】 求参数的值或范围时，可先根据焦点的位置把方程化为相应的标准方程的形式，再根据其余条件确定方程中的a2，b2.
解析】 ①若方程表示双曲线，则需满足：
或。解得k<－3或1②若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则1③若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k<－3.
总结】 明确方程ax2＋by2＝c表示双曲线的条件，即ab<0，且c≠0.化成＋＝1的形式，若焦点在x轴上，则》0， <0；若焦点在y轴上，则》0， <0.
12．(14分)已知定点a(0,7)、b(0，－7)、c(12,2)，以c为一个焦点作过a、b的椭圆，求椭圆的另一焦点f的轨迹方程．
解析】 设f(x，y)为轨迹上的任意一点，因为a、b两点在以c、f为焦点的椭圆上，所以|fa|＋|ca|＝2a，|fb|＋|cb|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，所以|fa|＋|ca|＝|fb|＋|cb|，所以|fa|－|fb|＝|cb|－|ca|＝－2.
所以|fa|－|fb|＝2.
由双曲线的定义知，f点在以a、b为焦点的双曲线的下半支上，所以点f的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．
双曲线及其标准方程新
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“双曲线及其标准方程 第一课时 ”课例分析人教版原创
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