第二章数列。
课时目标。1．理解数列及其有关概念；
2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3．对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．
1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．
2．数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为．
3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
一、选择题。
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
a．an＝nb．an＝n＋1
c．an＝n＋2d．an＝2n
答案 b2．已知数列的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
a．1,0,1,0b．0,1,0,1
c.，0，，0d．2,0,2,0
答案 a3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
a．an＝[1＋(－1)n－1]
b．an＝[1－cos(n·180°)]
c．an＝sin2(n·90°)
d．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
答案 d解析令n＝1,2,3,4代入验证即可．
4．已知数列的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
a．第5项b．第6项。
c．第7项d．非任何一项。
答案 c解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
a．an＝n2－n＋1b．an＝
c．and．an＝n2＋1
答案 c解析令n＝1,2,3,4，代入a、b、c、d检验即可．排除a、b、d，从而选c.
6．设an＝＋＋n∈n*)，那么an＋1－an等于( )
ab. cd.－
答案 d解析 ∵an＝＋＋
an＋1＝＋＋an＋1－an＝＋－
二、填空题。
7．已知数列的通项公式为an＝.则它的前4项依次为。
答案 4,7,10,15
8．已知数列的通项公式为an＝(n∈n*)，那么是这个数列的第___项．
答案 10解析 ∵＝n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是。
答案 an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，an＝2n＋1.
10．传说古希腊毕达哥拉斯(pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是___
答案 55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
三、解答题。
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈n*)．
2)数列变形为(1－0.1)， 1－0.01)，1－0.001)，…an＝ (n∈n*)．
3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，an＝(－1)n·(n∈n*)．
4)将数列统一为，，，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，可得它的一个通项公式为an＝(n∈n*)．
5)an＝或an＝(n∈n*)
或an＝(n∈n*)．
12．已知数列；
1)求这个数列的第10项；
2)是不是该数列中的项，为什么？
3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
1)解设f(n)＝
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
2)解令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
3)证明 ∵an＝＝＝1－，又n∈n*，∴0<<1，∴0∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
4)解令即。∴又∵n∈n*，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
能力提升。13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是。
答案 an＝＋(1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，故an＝＋(1)n＋1.
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
2)可重复性：数列中的数可以重复．
3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成。
an＝其中k∈n*.
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