课时目标。
1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．
2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，sn之间的关系．
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列的前n项和，记做sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作s16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝sn－1 (n≥2)．
2．若是等差数列，则sn可以用首项a1和末项an表示为sn＝；若首项为a1，公差为d，则sn可以表示为sn＝na1＋n(n－1)d.
3．等差数列前n项和的性质。
1)若数列是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为。
2)sm，s2m，s3m分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则sm，s2m－sm，s3m－s2m也成等差数列．
3)设两个等差数列、的前n项和分别为sn、tn，则＝.
一、选择题。
1．设sn是等差数列的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则s7等于( )
a．13b．35
c．49d．63
答案 c解析 s7＝＝＝49.
2．等差数列中，s10＝4s5，则等于( )
ab．2cd．4
答案 a解析由题意得：
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，10a1＋45d＝20a1＋40d，10a1＝5d，∴＝
3．已知等差数列中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则s10为( )
a．－9 b．－11 c．－13 d．－15
答案 d解析由a＋a＋2a3a8＝9得。
a3＋a8)2＝9，∵an<0，a3＋a8＝－3，s10＝
4．设等差数列的前n项和为sn，若s3＝9，s6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
a．63 b．45 c．36 d．27
答案 b解析数列为等差数列，则s3，s6－s3，s9－s6为等差数列，即2(s6－s3)＝s3＋(s9－s6)，s3＝9，s6－s3＝27，则s9－s6＝45.
a7＋a8＋a9＝s9－s6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
a．765 b．665 c．763 d．663
答案 b解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，n＝14，s14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
a．3 b．－3 c．－2 d．－1
答案 b解析由。
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
二、填空题。
7．设sn为等差数列的前n项和，若s3＝3，s6＝24，则a9
答案 15解析设等差数列的公差为d，则。
s3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，s6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由解得。故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
8．两个等差数列，的前n项和分别为sn和tn，已知＝，则的值是___
答案 解析 ＝＝
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为___
答案 10解析 s奇＝＝165，s偶＝＝150.
a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝n＝10.
10．等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则数列的前3m项的和s3m的值是___
答案 210
解析方法一在等差数列中，sm，s2m－sm，s3m－s2m成等差数列．
30,70，s3m－100成等差数列．
2×70＝30＋(s3m－100)，∴s3m＝210.
方法二在等差数列中，，，成等差数列，＝＋
即s3m＝3(s2m－sm)＝3×(100－30)＝210.
三、解答题。
11．在等差数列中，已知d＝2，an＝11，sn＝35，求a1和n.解由。得。
解方程组得或。
12．设为等差数列，sn为数列的前n项和，已知s7＝7，s15＝75，tn为数列的前n项和，求tn.
解设等差数列的公差为d，则sn＝na1＋n(n－1)d，s7＝7，s15＝75，∴，即，解得，＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，－数列是等差数列，其首项为－2，公差为，tn＝n×(－2)＋×n2－n.
能力提升。13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
a．9 b．10 c．19 d．29
答案 b解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，s19＝190.
当n＝20时，s20＝210>200.
n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
14．已知两个等差数列与的前n项和分别为an和bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
a．2 b．3 c．4 d．5
答案 d解析 ＝＝
＝7＋，n＝1,2,3,5,11.
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式sn＝na1＋d较好．
2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．
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