学科教师辅导讲义。
教学内容。知识精要。
1．如何由求。
2．常见的几种由递推公式求通项公式的方法。
1）累加法。
形如型数列，（其中不是常值函数)
此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有。
将上述个式子累加，变成，进而求解。
2）累积法。
形如型数列，（其中不是常值函数)
此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有。
将上述个式子累乘，变成，进而求解。
3）凑t法。
形如型数列。
此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。
4）取倒数法。
形如型数列（为非零常数）
这种类型的解法是将式子两边同时取倒数，把数列的倒数看成是一个新数列，便可顺利地转化为型数列。
5）相除法。
形如型数列（p为常数）
此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得。
名题精解。类型一：（可以求和）累加法。
例1. 在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。
解析： 上述个等式相加可得：
类型二： （可以求积）累积法。
例2. 在数列中，已知有，()求数列的通项公式。
解析： 又也满足上式。
类型三： 待定常数法。
可将其转化为，其中，则数列为公比等于a的等比数列，然后求即可。
例3 .在数列中，，当时，有，求数列的通项公式。
解析：设，则，于是。
是以为首项，以3为公比的等比数列。
类型四： （且）
一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。
例4 .设在数列中，，求数列的通项公式。
解析：设。展开后比较得。
这时。是以3为首项，以为公比的等比数列。
即，∴例5 . 在数列中，，求数列的通项公式。
解：∵ 令，则（），则。
类型五：（）倒数法。
例6. 已知，，求。 （
解答：∵知，
令，则，以下用“待定系数法”可得，∴
评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。
类型六： 例7. 已知数列前n项和。
求与的关系2）求通项公式。
解： ∵∴，两式相减得。
令，则。∵，∴从而。
数列的通项公式为。
类型七： 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
例8. 已知数列｛｝中， ，求数列。
解答：∵ 令，则。
以下用“待定系数法”可得。
例9. 已知数列满足，，求此数列的通项公式。
例10. 已知数列中， ,求数列的通项公式。
例11. 设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…）则它的通项公式是。
例12. 已知，求数列的通项公式。
例13. 数列满足， ,求数列的通项公式。
巩固提高。类型一专项练习题。
1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
解答：∵，故可用“叠加法”得。
2、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则 5 ；
当时， （用表示）．
解答：∵条直线()的交点个数有以下规律：
这条直线交点的个数。
上式显然对时也成立）
类型二专项练习题：
1、 已知， (求。
解答：（本解采用“累乘法”）∵
将上述等式相乘，便得。
数列的通项公式。
2、已知数列，满足， (n≥2)，则的通项公式。
解答：∵∴ 两式相减便得（，则（）
注意到，∴，由“累乘法”得（）
∴的通项公式。
类型三专项练习题：
1、已知数列中，a=1，a= a+ 1求通项a．
解答：令，则，∴
数列是公比为的等比数列。
类型4专项练习题：
设数列的前n项和，求数列的通项公式。解：∵
②①得，∵，
∴ 数列是首项为，公比为的等比数列。
类型五专项练习题。
已知数列{}满足时，，求通项公式。
解答：∵，则数列是首项为，公差为的等差数列。
类型六专项练习题：
已知数列的前n项和为， 求数列的通项公式。
解答：∵,故有（）
∴ 数列的通项公式为。
类型七专项练习题。
已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设tn=(1+a1) (1+a2) …1+an)，求tn及数列｛an｝的通项；
3）记bn=，求｛bn｝数列的前项和sn，并证明sn+=1
1）证明：∵点在函数的图象上， 数列是等比数列；
3）∵，故。但，∴
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