高二上期末考试模拟试题八。
数学。测试时间：120分钟满分150分）
一：选择题。
1、若，则、、的大小关系为。
a、 b、 c、 d、
2、过点且垂直于向量的直线方程是。
a、 b、 c、 d、
3、已知一双曲线的两条渐近线方程为：及，则它的离心率是（ ）
ab、 cd、
4、两圆与的公共弦所在的直线方程是。
ab、 c、 d、
5、当点在直线上移动时 ,的最小值是。
ab、 cd、9
6、以点为对称中心，直线关于对称的直线方程是（ ）
a、 b、c、 d、
7、抛物线的准线方程是，则的值为。
ab、－8cd、8
8 、一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹为 （
a、椭圆 b、双曲线的一支 c、抛物线 d、圆。
9、已知中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，一条弦所在直线方程是，弦的中点坐标为，则椭圆的离心率的值为。
abcd、10、椭圆上一点与两焦点组成一个直角三角形，则点到轴的距离是 （
abcd、或。
二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上)
11、若，则的范围是。
12、直线与的夹角是。
13、过点圆的的切线方程是。
14、过点和的双曲线标准方程是。
15、设抛物线的焦点为f，以为圆心、长为半径作一圆与抛物线交于点、两点，则的值是。
16、直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是。
三、解答题(本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、解不等式。
已知求的最大值与最小值。
19、已知圆内有一点，为过点的弦。
当弦最短时，求直线的方程；
若，且直线∥，求弦的长。
20、某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长，为安全需要两汽车间距不得小于。试求这批物资全部到达灾区所用最短时间及车速。
21、设、，、为直角坐标平面内、轴正方向上的单位向量，若向量且。
求点的轨迹的方程。
过点作直线与曲线交于、两点，设。是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
22、直线过定点，且是抛物线上动弦的中垂线。
求直线的倾斜角的范围； 求直线与动弦交点的轨迹方程。
答案。一、选择题：1、c 2、c 3、c 4、b 5、d
6、d 7、a 8 、a 9、b 10、d
二、填空题：1112、 13、
三、解答题：
17. 解：不等式。
时。解集为。
当时。解集为。
当时。解集为。
18、解：作出不等式组所表示的平面区域，如图：
其中， 令，则直线经过a点时，最小。
经过b点时，最大。
最小。最大。
19、解：⑴当弦ab最短时 ∵，
直线的方程为：
即： ∵直线∥ ∴又直线。
直线的方程为：，即。
把代入圆的方程得：
即。设，，则。
20、设最后一辆车到达时所用时间为，则。
当且仅当即时，等号成立。
答：这批物资全部到达灾区所用最短时间为，这时车速为。
21、解：⑴ 设
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为：
⑵设存在这样的直线椭圆交于，
ⅰ.当直线的倾斜角为时，经检验，不合题意。
ⅱ.当直线的斜率存在时，设直线方程为：
与椭圆方程联立得：
又由题意知：
解得 存在这样的直线：，使得四边形是矩形。
22.解：解：⑴由题意，斜率存在且不为零，设为，则的方程为，设直线的方程为。
由方程组消去得① ∴的中点的坐标为，在直线上，∴，即。
①中，即。的倾斜角的范围为。
设点的坐标为。
由⑴得。且，∴ 消去，得。
∵ ∴点的轨迹方程为。
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