2010学年第二学期十校联合体高二期中考试。
数学试卷(理科)
考试时间100分钟，满分120分，本次考试不得使用计算器)
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则。
abcd.
2.若的值为（ ）
a． bc. d.
3.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
a． b． c．3d．
4.本不同的书，全部分给个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为。
5.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记＝.若在上恒成立，则称在上为凸函数。 以下四个函数在上不是凸函数的是。
a. b. c. -d. -
是f(x)的导函数，f＇(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 (
7.对于上可导的任意函数，若满足，则必有。
a. b. c. d.
8.设，且＝，则下列大小关系式成立的是（ ）
a. b.
c. d.
9．四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 （
a.288 b.144 c.96 d.24
10.设球的半径为时间的函数。若球的表面积以均匀速度增长，则球的体积的增长。
速度与球半径。
a.成正比，比例系数为b.成反比，比例系数为
c.成反比，比例系数为d.成正比，比例系数为。
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）
11．的单调递减区间为。
12.函数上的最大值是。
13. 观察下列不等式：≥，由此猜测第个不等式为。
14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数，均有：
|≤|成立，则称在上满足利普希茨（lipschitz）条件。
对于函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为。
15. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为。
16.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字形的个小方格内，每格涂一种颜色，相邻（有公共边）两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有种不同的涂色方法。
17. 已知函数若函数有三个零点，则实数的值是。
三、解答题：（本大题共4题，共42分。其中第18题8分，第19-20每题各10分，第21题14分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本小题满分8分） 一个盒子装有七张卡片，上面分别写着七个定义域为的函数：，。从盒子里任取两张卡片：
1） 至少有一张卡片上写着奇函数的取法有多少种？（用数字表示）
2） 两卡片上函数之积为偶函数的取法有多少种？（用数字表示）
19．（本小题满分10分）用数学归纳法证明：
20.下图是一个组合体。它下部的形状是高为的圆柱，上部的形状是母线长为的圆锥。试问当组合体的顶点到底面中心的距离为多少时，组合体的体积最大？最大体积是多少？
21.已知函数。
1)、当时，讨论的单调性；
2）、设，当若对任意存在使求实数的取值范围。
2010学年第二学期十校联合体高二期中联考。
理科数学试题参***及评分标准
二、填空题（每小题4分，共28分）
三、解答题（本大题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
18．解：（1）奇函数有：，，
偶函数有：，
非奇非偶函数有：，
只一张卡片上写着奇函数的取法有种。
两张卡片均写着奇函数的取法有种。
至少有一张卡片上写着奇函数的取法有15种………5分。
2）两偶函数之积为偶函数的取法有种。
两奇函数之积为偶函数的取法有种。
与之积为偶函数，取法是种。
两卡片上函数之积为偶函数的取法有5种………8分。
19、（本小题满分10分）
解：（1）……2分。
第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7.
………5分。
2）由（1）得。
令。所以常数项为第7项………7分。
3）由条件得。
有理项的共有3项………10分。
20、解：设圆锥的高为，半径为，则…2分。
4分。5分。
令解得x= (不合题意，舍去)，x=10.
当0所以当x=10时，v(x)最大。即当oo为20m时，组合体的体积最大……9分。
最大体积为10分。
21.解（1）……2分。
当，即时，此时的单调性如下：
………4分。
当时， ，当时递增；
当时，递减；… 5分。
当时，，当时递增；
当时，递减；……6分。
综上，当时，在(0,1)上是增函数，在（1，+）上是减函数；
当时，在(0,1)，（上是增函数，在（1，）上是减函数。……7分。
2）由（1）知，当时，在(0,1)上是增函数，在（1，2）上是减函数。
于是时，……8分。
从而存在。使）=…10分。
考察的最小值。
当时，在上递增， =舍去）……11分。
当时，，在上递减，
12分。当时，无解。……13分。
综上………14分。
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