达州市2023年高中二年级春季期末检测。
数学(理科答案)
一、 选择题:
1~5. adcab 5~10. acbca 11~12. db
二、 填空题:
三、解答题:
17.(10分)已知圆c:的圆心,1)若点在圆上,求圆c的方程;
2)若直线l: x-y+2=0与圆c相交于a,b两点,且|ab|=,求圆c的方程。
解:(1)由圆心得:
∴圆c: 代入点解得:
圆c的方程为5分。
(2)由(1)有圆c:,圆心c到直线l: x-y+2=0的距离。
圆c的方程为10分。
18. (12分)有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为的扇形,在这个圆锥中的内接一个高为的圆柱。
ⅰ)求圆锥的体积;
ⅱ)当为何值时,圆柱的侧面积最大?
解:(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长。 …2分。
设圆锥的底面半径为r,高为h
则,解得r=34分。
5分。……6分。
2)圆锥的轴截面为等腰三角形,设圆柱的底面半径为,则, 从而8分。
圆柱的侧面积。
…10分。
当2时,有最大值。所以当圆柱的高为2时,圆柱有最大侧面积为。
12分。19 (12分)已知直角梯形abcd中,,∥图一),把梯形abcd绕边cd所在直线旋转到cdef处,使二面角b—cd—f的大小为,连接ae、bf得到一空间几何体bcf—ade(图二),又点m、n分别为cd中与ae中点。
1)求证:求证:dn∥平面mbf;
2)求二面角m—bf—c的正切值。
1) 证明:由已知有:平面bcf,bc=cf,bm=mf,∠bcf=,abfe为平行四。
边形2分。过点n作ab的平行线交bf与点p,则p为bf中点,连接mp
np∥又点m为cd中点,∴ dm=1
又abfe为平行四边形,∴np=1
四边形dmpn为平行四边形5分。
mp∥dn,又mp平面mbf,dn平面bmf,dn∥平面bmf6分。
2): 连接cp,由bc=cf,bm=mf得:cp⊥bf,mp⊥bf,∴∠mpc为二面角m—bf—c的平面角8分。
∵平面bcf, ∴mc⊥cp
在rt△mcp中 tan∠mpc9分。
又由已知有mc=1,
tan∠mpc
∴二面角m—bf—c的正切值为12分。
20. (12分)达州市某校为了了解高二年级学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);…第五组[17,18].
按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,为了进一步了解第四组[14,15)第五组[17,18]学生的学习状况,利用分层抽样的方式分别从第四组和第五组抽取了3名同学和2名同学。
ⅰ)利用频率分布直方图估计该校高二学生百米成绩的中位数;
ⅱ)求频率分布直方图中的;
ⅲ)若从第四组第五组抽出的5名学生中再随机抽出2个学生,求恰有一名学生在第四组的概率。
解:(1)由已知第一组与第二组的频率和为,故中位数位于第三小组,中位数4分。
2)由已知第四组和第五组在样本中的频率为:
由分层抽样抽出的学生比例得:
8分。3)不妨设抽出的学生分两次抽出,则5名学生中随机抽出2个学生有20种抽法。
记a为事件“恰有一名学生在第四组”
则事件a有12种抽法。
故12分。(本题也可以用组合的方式解答,根据答案相应给分)
21. (12分)已知双曲线以椭圆焦点为顶点,椭圆的其中两个顶点为焦点,1)求双曲线的方程;
2)已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,过点的直线与抛物线有且只有一个公共点,求直线的方程。
解:(1)设。
由已知。解得:
双曲线的方程为4分。
(2)由已知抛物线的方程为5分。
当直线与x轴垂直时,直线的方程为:,符合题意; …6分。
当直线与x轴不垂直时,设直线的方程为。
联立得8分。
当时方程①有且只有一解,符合题意,此时直线的方程为: …9分。
当时,要使直线与抛物线有且只有一个公共点当且仅当:
解得: 此时直线的方程为11分。
综上:直线的方程为:或或12分。
22.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点为,、是椭圆的左、右顶点,是椭圆上异于、的动点,且面积的最大值为.
1)求椭圆的方程;
2)若过点的直线与曲线相交于,两点时,是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由。
1)设椭圆的方程为(),由已知可得, …1分
为椭圆右焦点,∴②2分
由①②可得,,…4分
椭圆的方程为;……5分。
2)当直线与x轴重合时,有 …6分。
当直线与x轴不重合时。
设,,过点的直线方程为,代入中得8分
则,,…9分。
11分。综上得为定值312分。
法二:当直线与x轴垂直时,有 ……5分。
当直线与x轴不垂直时,设,,过点的直线方程为。
联立得。8分。
由得:同理可得:
11分。综上得为定值312分。
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