达州市2023年高中二年级春季期末检测。
数学（理科答案）
一、 选择题：
1~5. adcab 5~10. acbca 11~12. db
二、 填空题：
三、解答题：
17.（10分）已知圆c：的圆心，1)若点在圆上，求圆c的方程；
2)若直线l： x－y＋2＝0与圆c相交于a，b两点，且|ab|＝，求圆c的方程。
解：（1）由圆心得：
∴圆c： 代入点解得：
圆c的方程为5分。
（2）由（1）有圆c：，圆心c到直线l： x－y＋2＝0的距离。
圆c的方程为10分。
18. （12分）有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为的扇形，在这个圆锥中的内接一个高为的圆柱。
ⅰ）求圆锥的体积；
ⅱ）当为何值时，圆柱的侧面积最大？
解：（1）因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长。 …2分。
设圆锥的底面半径为r，高为h
则，解得r=34分。
5分。……6分。
2）圆锥的轴截面为等腰三角形，设圆柱的底面半径为，则， 从而8分。
圆柱的侧面积。
…10分。
当2时，有最大值。所以当圆柱的高为2时，圆柱有最大侧面积为。
12分。19 （12分）已知直角梯形abcd中，，∥图一），把梯形abcd绕边cd所在直线旋转到cdef处，使二面角b—cd—f的大小为，连接ae、bf得到一空间几何体bcf—ade（图二），又点m、n分别为cd中与ae中点。
1）求证：求证：dn∥平面mbf；
2）求二面角m—bf—c的正切值。
1) 证明：由已知有：平面bcf，bc=cf，bm=mf,∠bcf=,abfe为平行四。
边形2分。过点n作ab的平行线交bf与点p，则p为bf中点，连接mp
np∥又点m为cd中点，∴ dm=1
又abfe为平行四边形，∴np=1
四边形dmpn为平行四边形5分。
mp∥dn，又mp平面mbf，dn平面bmf，dn∥平面bmf6分。
2)： 连接cp，由bc=cf，bm=mf得：cp⊥bf，mp⊥bf，∴∠mpc为二面角m—bf—c的平面角8分。
∵平面bcf， ∴mc⊥cp
在rt△mcp中 tan∠mpc9分。
又由已知有mc=1，
tan∠mpc
∴二面角m—bf—c的正切值为12分。
20. （12分)达州市某校为了了解高二年级学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;…第五组[17，18].
按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，为了进一步了解第四组[14，15）第五组[17，18]学生的学习状况，利用分层抽样的方式分别从第四组和第五组抽取了3名同学和2名同学。
ⅰ）利用频率分布直方图估计该校高二学生百米成绩的中位数；
ⅱ）求频率分布直方图中的；
ⅲ）若从第四组第五组抽出的5名学生中再随机抽出2个学生，求恰有一名学生在第四组的概率。
解：（1）由已知第一组与第二组的频率和为，故中位数位于第三小组，中位数4分。
2）由已知第四组和第五组在样本中的频率为：
由分层抽样抽出的学生比例得：
8分。3）不妨设抽出的学生分两次抽出，则5名学生中随机抽出2个学生有20种抽法。
记a为事件“恰有一名学生在第四组”
则事件a有12种抽法。
故12分。(本题也可以用组合的方式解答，根据答案相应给分)
21. （12分）已知双曲线以椭圆焦点为顶点，椭圆的其中两个顶点为焦点，1）求双曲线的方程；
2）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，过点的直线与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程。
解：（1）设。
由已知。解得：
双曲线的方程为4分。
（2）由已知抛物线的方程为5分。
当直线与x轴垂直时，直线的方程为：，符合题意； …6分。
当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为。
联立得8分。
当时方程①有且只有一解，符合题意，此时直线的方程为： …9分。
当时，要使直线与抛物线有且只有一个公共点当且仅当：
解得： 此时直线的方程为11分。
综上：直线的方程为：或或12分。
22.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．
1）求椭圆的方程；
2）若过点的直线与曲线相交于，两点时，是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由。
1）设椭圆的方程为()，由已知可得， …1分
为椭圆右焦点，∴②2分
由①②可得，，…4分
椭圆的方程为；……5分。
2）当直线与x轴重合时，有 …6分。
当直线与x轴不重合时。
设，，过点的直线方程为，代入中得8分
则，，…9分。
11分。综上得为定值312分。
法二：当直线与x轴垂直时，有 ……5分。
当直线与x轴不垂直时，设，，过点的直线方程为。
联立得。8分。
由得：同理可得：
11分。综上得为定值312分。
高二理科数学答案
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