例1、（一线三等角）
1)25.市中(本小题满分10分 ）如图直线 y=kx与双曲线y=﹣交于a、b两点，点c为第三象限内一点．
1）若点a的坐标为（a，3），求a的值；
2）当k=﹣，且ca=cb，∠acb=90°时，求c点的坐标；
3）当△abc为等边三角形时，点c的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．
2)26．槐荫(本小题满分12分)
已知一个矩形纸片oacb，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点a(4，0)，点b(0，3)，点p为bc边上的动点（点p不与点b、c重合），经过点o、p折叠该纸片，得点b′和折痕op．设bp=t．
1)如图1，当∠bop=30°时，求点p的坐标；
2)如图2，经过点p再次折叠纸片，使点c落在直线pb′上，得点c′和折痕pq，设aq=m，试用含有t的式子表示m；
3)在(2)的条件下，连接oq，当oq取得最小值时，求点q的坐标；
4)在(2)的条件下，点c′能否落在边oa上？如果能，直接写出点p的坐标；如果不能，请说明理由。
例2、（手拉手）
3)21．槐荫(本小题满分6分)
如图，点c是线段ab上任意一点，分别以ac、bc为边在ab的同侧作等边△acd和等边△bce，分别连接ae、bd.
求证：ae=bd.
4)26.历下（本题满分12分）
在数学课堂上，小斐同学和小可同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记做△abc和△ade，其中∠bac＝∠dae＝90°．
问题的产生：
两位同学先按照图1摆放，点d，e在ab，ac上，发现bd和ce在数量和位置关系上分别满足bd＝ce，bd⊥ce．
问题的**：
1)将△ade绕点a逆时针旋转一定角度．如图2．点d在△abc内部，点e在△abc外部，连结bd，ce，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
问题的延伸：
继续将△ ade绕点a逆时针旋转．如图3．点_d，e都在△abc外部，连结bd, ce，cd，eb，bd与ce相交于h点．
(2)若bd＝，求四边形bcde的面积；
(3)若ab＝3，ad＝2，设cd2 ＝x，eb2＝y，求y与x之间的函数关系式．
5)26．天桥（本小题满分12分）
如图1，△abc和△dec均为等腰三角形，且∠a cb＝∠dce＝90°，连接be，ad，两条线段所在的直线交于点p．
1)线段be与ad有何数量关系和位置关系，请说明理由．
2)若已知bc＝12，dc＝5，△dec绕点c顺时针旋转，①如图2，当点d恰好落在bc的延长线时，求ap的长；
②在旋转一周的过程中，设△pab的面积为s，求s的最值．
6)．在数学**课上，老师出示了这样的**问题，请你一起来**：已知c是线段ab 所在平面内任意一点，分别以 ac、bc为边，在ab同侧作等边△ace和△bcd，连接 ad、be交于点p．
1）如图 1，当点 c**段ab上移动时，线段ad 与be的数量关系： ．
2）如图 2，当点c在直线ab外，且∠acb＜120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠ape 是否随着∠acb 的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠ape的度数，不必说明理由．
3）如图 3，在（2）的条件下，以ab为边在ab另一侧作等边三角形∠abf，连接ad、be 和cf交于点 p．求证：pa+pb+pc＝be．若∠abc＝60°，ab＝6，bc＝4试求pa+pb+pc的值，只需直接写出结果．
7)△abc与△cde是共顶点的等边三角形．直线be与直线ad交于点m，点d、e不在△abc的边上．
1）当点e在△abc外部时（如图1），写出ad与be的数量关系．
2）若cd＜bc，将△cde绕着点c逆时针旋转，使得点e由△abc的外部运动到△abc的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠amb的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠amb的度数，若变化，说明理由．
3）如图3，当b、c、d三点在同一条直线上，且bc＝cd时，写出bm，me与bc之间的数量关系．
8)（选做）阅读材料：
如图1，△abc和△cde都是等边三角形，且点a、c、e在一条直线上，可以证明△acd≌△bce，则ad＝be．
解决问题：1）将图1中的△cde绕点c旋转到图2，猜想此时线段ad与be的数量关系，并证明你的结论．
2）如图2，连接bd，若ac＝2cm，ce＝1cm，现将△cde绕点c继续旋转，则在旋转过程中，△bde的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．
3）如图3，在△abc中，点d在ac上，点e在bc上，且de∥ab，将△dce绕点c按顺时针方向旋转得到三角形cd′e′（使∠acd′＜180°），连接be′，ad′，设ad′分别交bc、be′于o、f，若△abc满足∠acb＝60°，bc＝，ac＝，求的值及∠bfa的度数；
若d为ac的中点，求△aoc面积的最大值．
例3、（几何变换）
9)26.长清（本小题满分12分）
如图（1），已知点g在正方形abcd的对角线ac上，ge⊥bc于点e，gf⊥dc于点f，则易知四边形cegf是正方形．
1）请直接写出的值为___
2）将正方形cegf绕点c顺时针方向旋转α角（0°＜α45°），如图（2）所示，试**线段ag与be之间的数量关系，并说明理由：
3）正方形cegf在旋转过程中，当b，e，f三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长cg交ad于点h．若ah＝，gh＝，则bc
10)26．平阴（满分12分）
1)已知州正方形abcd中，对角线ac与bd相交于点o．如图①，将△boc绕点o逆时针方向旋转得到△b′oc′，oc′与cd交于点点m，ob′与bc交于点n，写出线段cm与bn的数量关系，并证明．
2)如图②，将(1)中的△boc绕点b逆时针旋转得到△bo′c′，连接ao′、dc′，写出线段ao′与dc′的数量关系，并证明．．
3)如图③，已知矩形abcd和rt△aef有公共点a，且∠aff＝90°，∠eaf ＝∠dac＝α，连接de、cf，直接写出的值（用α的三角函数表示）．
11)26．高新（本小题满分12分）
已知正方形abcd，p为射线ab上的一点，以bp为边作正方形bpef，使点f**段cb的延长线上，连接ea，ec．
1）如图1，若点p**段ab的延长线上，求证：ea＝ec；
2）如图2，若点p**段ab的中点，连接ac，判断△ace的形状，并说明理由；
3）如图3，若点p在边ab上，连接ac，当ep平分∠aec时，设ab＝，bp＝1，求∠aec的度数．
12)18.历下如图，正方形abcd中，点e、f分别**段bc、cd上运动，且满足∠eaf＝45°，ae、af分别与bd相交于点m、n，下列说法中：①be＋df＝ef；②点a到线段ef的距离一定等于正方形的边长；③若tan∠bae＝，则tan∠daf＝；④若be＝2，df＝3，则s△aef＝15．其中结论正确的是将正确的序号填写在横线上）
13)27．槐荫初二期中（本小题共12分）
数学学习小组“陆月辉煌”最近正在进行几何图形组合问题的研究 ． 认真研读以下三个片段， 并回答问题 ．
片断一】小文说： 将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中， 直角顶点与对角线交点重合， 在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系 ．
如图 （1） ，若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边、于点、，则．
请你判断他的猜想是否正确？若正确请说明理由；
片断二】小化说： 将三角板中一个角的顶点和正方形的一个顶点重合放置， 使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点 ．如图 （2） ，若以为顶点的角的两边分别交正方形的边、于点、，交对角线于点、． 我发现：，只要准确旋转图 （2） 中的一个三角形就能证明这个结论 ．请你在图2中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式。
片断三】小年说： 将三角板的一个角放置在正方形的外部， 同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点 ．如图 （3） ，设顶点为的角位于正方形的边上方， 这个角的两边分别经过点、，连接，． 那么线段、、也存在确定的数量关系：．请你证明这个结论 ．
例4、最值。
14)47.如图，已知抛物线与一直线相交于a（,0），c（2,3）两点，与轴交与点n，其顶点为d。
1）求抛物线及直线ac的函数关系式；
2）设点m（3，m），求使mn+md的值最小时m的值；
3）若抛物线对称轴与直线ac相交于点b，e为直线ac上任意一点，过e作ef∥bd，交抛物线于点f，以b、d、e、f为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点e的坐标；若不能，请说明理由；
4）若点p是该抛物线上位于直线ac上方的一动点，求△apc面积的最大值。
15)46.如图，在平面直角坐标系中，已知点a的坐标是（4，0），并且oa=oc=4ob，动点p在过a，b，c三点的抛物线上．
1）求抛物线的解析式；
2）是否存在点p，使得△acp是以ac为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，说明理由；
3）过动点p作pe垂直于y轴于点e，交直线ac于点d，过点d作x轴的垂线．垂足为f，连接ef，当线段ef的长度最短时，求出点p的坐标．
16)8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于b、c两点，点a在x轴上，∠acb=90°，抛物线y=ax2+bx+经过a，b两点．
1）求a、b两点的坐标；
2）求抛物线的解析式；
3）点m是直线bc上方抛物线上的一点，过点m作mh⊥bc于点h，作md∥y轴交bc于点d，求△dmh周长的最大值．
例5、（阿氏圆）
17)27．（2018高新区1模，27，本小题满分12分）
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于a、c两点，与y轴交于b点，a(－6，0)，c(1，0），b(0，)．
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重点提示 1.题目中如果谈到某个三角形是等腰三角形，注意讨论腰的问题。2.题目中如果谈到两个三角形相似，注意讨论对应边的问题。例1 如图已知，abc中，ab 5，bc 3，ac 4，pq ab，p点在ac上 与点a c不重合 q点在bc上。1 当 pqc的面积与四边形pabq的面积相等时，求cp的长...