第七讲导数概念，运算及几何意义。
一．课时目标。
1.通过实例分析了解函数平均变化率的意义．.会求函数f(x)在x0到x0＋δx之间的平均变化率．
2.了解函数的平均变化率及导数间的关系．掌握函数在一点处导数的定义，以及函数f(x)在区间(a，b)内导函数的概念。
3.理解函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的导数与函数y＝f(x)图象在点(x0，y0)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义．
4.已知函数解析式，会求函数在点(x0，y0)处切线的斜率，能求过点(x0，y0)的切线的方程。
5.掌握基本初等函数的导数公式．.掌握导数的和、差、积、商的求导法则．
6.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题。
二．重点难点。
1.理解函数平均变化率的意义．(难点)
2.求函数f(x)在 x0到x0＋δx之间的平均变化率．(重点)
3.理解函数在某点处的导数．(难点)
4.根据导数的几何意义，求函数在点(x0，y0)处的切线的方程．(重点)
5.准确理解在某点处与过某点处的切线方程．(易混点)
6导数公式表的记忆．.应用四则运算法则求导(重点)
7.利用导数研究函数性质．(难点)
三．知识梳理。
1．函数从到的平均变化率：函数从到的平均变化率为。
若，，则平均变化率可表示为。
2． 函数在处的导数。
1)定义： =为函数在处的导数，记作或|，即＝为函数在处的导数，记作或|，即＝＝
2)几何意义：函数在点处的导数的几何意义是在曲线＝上点处的切线的相应地，切线方程为。
3．函数f(x)的导函数：称函数＝为的导函数，导函数有时也记作y′.
4．基本初等函数的导数公式。
5.导数运算法则：(1)[f(x)±g(x2)[f(x)·g(x
(3)′＝g(x)≠0)．
6．复合函数的导数：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．
四．正本清源。
1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系：(1)函数在点处的导数是一个常数；
2)函数y＝的导函数，是针对某一区间内任意点而言的．如果函数y＝在区间()内每一点x都可导，是指对于区间()内的每一个确定的值都对应着一个确定的导数．这样就在开区间()内构成了一个新函数，就是函数的导函数．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．
2．曲线“在点处的切线”“过点的切线”的区别与联系。
1)曲线在点处的切线是指p为切点，切线斜率为k＝f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
2)曲线过点的切线，是指切线经过p点．点p可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
五．典例分析。
题型一利用导数的定义求函数的导数。
例1 求函数在到＋δ之间的平均变化率．
思维启迪：紧扣定义＝进行计算．
**提高 ： 求函数平均变化率的步骤：①求函数值的增量。
计算平均变化率＝.
解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．
变式训练1 过曲线y＝f (x)＝x3上两点p(1,1)和q(1＋δx,1＋δy)作曲线的割线，求出当δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点p处切线的斜率．
题型二导数的运算。
例2 求下列函数的导数：(1)y＝x（）；2)y＝x－sin cos；(3)y＝(＋1).
思维启迪：若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．
**提高 ①求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；②有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
变式训练2 求下列函数的导数：
1)y＝(－2)2；
2)y＝cos ；
3)y＝log2(ax3)．
例3 求下列复合函数的导数：
1)y＝(2x－3)52)y3)y＝sin24)y＝ln(2x＋5)．
思维启迪：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．
**提高由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
变式训练3 求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n (n∈n2)y＝5.
题型三导数的几何意义。
例4 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点p(1,1)，且在点q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．
思维启迪：函数y＝ax2＋bx＋c在点q(2，－1)处的导数值等于切线斜率为1，且点q(2，－1)、点p(1,1)都在抛物线上．
**提高利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．
变式训练4 设函数f(x)＝ax＋(a，b∈z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.求y＝f(x)的解析式．
题型四求切点坐标。
例5 在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．分别求出该点的坐标．
[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．
变式训练5 已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
[特别提醒] (1)若曲线y＝f(x)在点p(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行．f′(x0)＞0，切线与x轴正向夹角为锐角，f′(x0)＜0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．
2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程．
六易错警示：分不清“曲线在点p处的切线”与“曲线过点p的切线”的区别致误。
例6 已知曲线y＝x3＋. 1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
批阅笔记 (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．
2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为p(x0，y0)，然后求其切线斜率。
k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．
3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是切点，从而导致错误．
4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错误的．依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线有除切点外的其他公共点．思想方法感悟提高．
七课后小结。
1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f (x0)与(f (x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，而函数值f (x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x0))′0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
失误与防范。
1．利用导数定义求导数时，要注意到x与δx 的区别，这里的x是常量，δx是变量．
2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
3．求曲线切线时，要分清点p处的切线与过p点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
八家庭作业。
1，（2011全国高考4）曲线在点（1,0）处的切线方程为。
（abcd）
2，（2024年山东高考4）曲线在点p(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是。
（a）-9 （b）-3 （c）9 （d）15
3，（2024年江西考4）曲线在点a（0,1）处的切线斜率为（ ）
a.1b.2cd.
4，（2024年重庆高考文3)曲线在点，处的切线方程为。
a) (bcd)
5,（2024年江西高考理4）设，则的解集为。
ab. c. d.
6，(2024年全国高考理8）曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为。
abcd)1
7，（2024年湖南高考7）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
a． b． c． d．
8，(2024年辽宁文高考题20）设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过p（1,0），且在p点处的切斜线率为2．
i）求a，b的值；（ii）证明：≤2x-2．
9，（2024年全国ⅰ理高考题21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。
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