高一函数（9）：函数与方程。
知识要点】1．一般地，方程函数f(x)=0的实数根又叫做函数f(x)的零点。
2．利用函数零点存在判定方法解题时，要注意以下几点：
函数y=f(x)必须在区间［a、b］上连续（不间断的曲线）；（如，但无实数根，是间断的）
若，则函数y=f(x)在区间（a、b）上至少有一个零点，而不能判断零点的确切个数，若函数在［a、b］单调则只有一个零点。
函数在（a、b）内有零点，但不一定成立（如函数）
3．用二分法求方程f(x)=0或g(x)=h(x)近似解的基本步骤是：
1）寻找解所在区间，即确定初始区间。方法之一有图象法。
2）不断二分解所在区间，方法是不断取符合条件的区间中点，确定下一个根所在的区间；
3）重复上面的过程，当精确度时就可取作为方程的近似解。
1、已知且，求函数的最大值和最小值
解：由得，即。
当，当。2、下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 c
解析：首先排除d,因为f(x)图象不连续，再次排除ab,因为ab不符合f(a)·f(b)<0.
3、方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围是。
解析：设f(x)=x2+ax-2,∵f(0)=-2<0,∴由x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解，只需f(1)≤0且f(5)≥0
4、对于任意的实数x，不等式（a2-3a+2）x2+(a-1)x+2>0恒成立，则实数的取值范围为。
5、已知关于x的方程 (k-2)x2-(3k+6)x+6k=0有两个负数根，则k的取值范围是。
6、设函数的解的个数为__2个___数形结合。
7、方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标，若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数的取值范围为。
视为交点的横坐标，与交点为，因为点均在直线的同侧，所以时，，时，
8、(2010·浙江)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点。若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞则正确的是b
0,f(x2)<0 <0,f(x2)>0 >0,f(x2)<0 >0,f(x2)>0
解析：由于函数g(x)=在(1,+∞上单调递增，函数h(x)=2x在(1,+∞上单调递增，故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞上单调递增，所以函数f(x)在(1,+∞上只有惟一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)<0,在(x0,+∞上f(x)>0,故选b.
9、若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是_{x|-解析：由于f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程x2+ax+b=0的两个根是-2和3,因此，因此f(x)=x2-x-6,所以不等式a·f(-2x)>0即-(4x2+2x-6)>0,即2x2+x-3<0,解集为{x|-10、方程xlg(x+2)=1有___2___个不同的实数根。
解析：由题意知x≠0,∵xlg(x+2)=1,∴lg(x+2)=,画出y=lg(x+2),y=的图象(图略),两个函数图象的交点个数即为方程根的个数，由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点，故方程有2个不等实数根。
11、已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为___2___
解析：由于f(x)=|x|+|2-x|=
所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解，应使a≥2,即a的最小值为2.
12、求证：方程在区间上有解。
设 方程在区间上有解，可以验证在（1，2）、（3，4）上也有根。
13、求实系数方程ax2+bx+c=0(a>0)一根大于1，另一根小于1的等价条件，并给出证明。
14、求方程 （）
15、已知是实数，函数，如果函数在区间［－1,1］上有零点，求的取值范围。
解：当a=0时，函数为f(x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上．
当a≠0时，函数f(x) 在区间[-1，1]分为两种情况：
函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时。
或解得1≤a≤5或a=
函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时。
或。解得a5或a＜
综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为。
16、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点；
2)若对x1、x2∈r且x1证明必有一实根属于(x1,x2).
证明：(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0. 又∵δ=b2-4ac≥-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，即函数f(x)有两个零点。
2)令g(x)=f(x)- f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)- f(x1)+f(x2)]
g(x2)=f(x2)- f(x1)+f(x2)]
f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0.
g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根。
评析：可将方程根的问题转化成函数零点的问题，借助函数的图象和性质进行解答。
17、m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4.
有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1大；
解：(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点方程f(x)=0有两个相等实根δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0 ∴m=4或m=-1.
解法一： 由题意，知∴-5∴m的取值范围为(-5,-1).
解法二：设f(x)的两个零点分别为x1,x2.
则x1+x2=-2m,x1x2=3m+4.
由题意，知。
-5故m的取值范围为(-5,-1).
18、若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围。
解：令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.
令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出g(x)、h(x)的图象。
由图象可知，当0<-a<4,即-4故a的取值范围为(-4,0).
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