2012级高一数学竞赛辅导讲义。
—函数与方程。
例1、（1）函数的零点所在的区间是（ c ）
abcd．2）（ c ）
ab． cd．
3)(2010高考9)设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ a ）
abcd.4)已知，若函数不存在零点，则c的取值范围是（ c ）
a． b． c． d．
5)已知函数与函数有一个相同的零点，则与为（ d ）
a．均为正值 b．均为负值 c．一正一负 d．至少有一个等于零。
例2、求下列函数的值域：
1） ，其值域为 。
2） ，其值域为 。
3）的值域。
例3、（1）函数 （）的零点的个数为（ b ）
a．3b．2c．1d．0
2）已知在上有两个零点，则的取值范围为( c )
a．（1，2b．[1，2] c．[1,2d．（1，2]
3）如果函数存在两个不同的零点，则实数的取值范围是（ b ）
a． b． c． d．
4）函数f(x)=2cosx+1(>0)在上至少有2010个零点，则的最小值为（ b ）
ab. c. d.
5)关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有两个实数解，则实数a的取值范围是( b )
a．a>0b．a<－8 c．a>0或a<－8 d．a≥0或a≤－8
6)（2011高考10）设为实数，。记集合若，分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（d ）
a. 且 b. 且 c. 且 d. 且
例4、（1）已知以t = 4为周期的函数，其中m > 0，若方程恰有5个实数解，则m的取值范围为（ b）
a．（，b．（，c．（，d．（，
2）已知函数，则方程（为正实数）
的根的个数不可能为（ a）
a．3个 b．4个 c．5个 d．6个。
3)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集不可能是( d )
a． c．4）已知关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是
例5、 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。
注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
例6、 已知函数α，β满足α3－3α2＋5α＝1，β 3－3β 2＋5β＝5，求α＋β的值．
解：构造函数f(x)＝x3－3x2＋5x＝(x－1)3＋2(x－1)＋3，则有f(α)1，f(β)5.
又g(t)＝t3＋2t在r上是单调递增的奇函数，且。
g(α－1)＝f(α)3＝－2，g(β－1)＝f(β)3＝2，故g(α－1)＝－g(β－1)＝g(1－β)得α－1＝1－β，即α＋β2.
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