三角函数。
1、已知是方程的两个根中较小的根，求的值。
[解] ∵是方程的较小根，∴ 方程的较大根是。
即 解得，或。
当时， ，当时， ，不合题意。
2、已知函数。
（1）若，求函数的值； （2）求函数的值域。 解]（1
函数的值域为。
3、求函数的值域和最小正周期．
解] ∴ 函数的值域是，最小正周期是。
解析几何。4、（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；
2）已知椭圆的方程是。 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为。 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；
3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心。
解]（1）设椭圆的标准方程为，∴，即椭圆的方程为，点（）在椭圆上，∴，解得或（舍），由此得，即椭圆的标准方程为。
[证明]（2）设直线的方程为。
与椭圆的交点()、则有，解得，∵，即。
则，∴中点的坐标为。
∴ 线段的中点在过原点的直线上。
解]（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心18分
5、如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点f是椭圆的右焦点，点p在椭圆上，且位于轴上方，．
（1）求点p的坐标；
（2）设m是椭圆长轴ab上的一点，m到直线ap的距离等于，求椭圆上的点到点m的距离的最小值．
解]（1）由已知可得点a（－6，0），f（4，0）
设点p的坐标是，由已知得。
由于。2）直线ap的方程是设点m的坐标是（m，0），则m到直线ap的距离是，于是椭圆上的点到点m的距离d有。
由于。6、学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验。 设计方案如图：
航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为。 观测点同时跟踪航天器。
1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解]（1）设曲线方程为，由题意可知，..4分。
曲线方程为。 …6分。
（2）设变轨点为，根据题意可知。
得，或（不合题意，舍去）.
得或（不合题意，舍去）.
点的坐标为，.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令。
7、在平面直角坐标系o中，直线与抛物线＝2相交于a、b两点．
1）求证：“如果直线过点t（3，0），那么＝3”是真命题；
2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
解]（1）设过点t(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点a(x1,y1)、b(x2,y2).
当直线的钭率不存在时，直线的方程为x=3,此时，直线与抛物线相交于点a(3,)、b(33；
当直线的钭率存在时，设直线的方程为，其中，由。
得又 ∵，综上所述，命题“如果直线过点t(3,0)，那么=3”是真命题；
2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于a、b两点，如果=3,那么该直线过点t(3,0).该命题是假命题。
例如：取抛物线上的点a(2,2)，b(,1)，此时=3,直线ab的方程为：，而t(3,0)不在直线ab上；
说明：由抛物线y2=2x上的点a (x1,y1)、b (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线ab过点(3,0)；
如果y1y2=2，可证得直线ab过点(－1,0),而不过点(3,0).
8、求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题。
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.
试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离。”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。
评分说明：ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定。
ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分。
解] 点到直线的距离为。
“逆向”问题可以是：
(1) 求到直线的距离为2的点的轨迹方程。
[解] 设所求轨迹上任意一点为，则，所求轨迹为或。
(2) 若点到直线的距离为2，求直线的方程。
[解]，化简得，或，所以，直线的方程为或。
意义不大的“逆向”问题可能是：
(3) 点是不是到直线的距离为2的一个点。
[解] 因为，所以点是到直线的距离为2的一个点。
(4) 点是不是到直线的距离为2的一个点。
[解] 因为，所以点不是到直线的距离为2的一个点。
(5) 点是不是到直线的距离为2的一个点。
[解] 因为，所以点不是到直线的距离为2的一个点。
9、如图，在直角坐标系中，设椭圆。
的左右两个焦点。
分别为。 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为。
1) 求椭圆的方程；
2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积。
解] (1) [解法一]轴，的坐标为。……2分。
由题意可知得。
所求椭圆方程为。 …6分。
解法二]由椭圆定义可知。
由题意。又由△可知 ，又，得。 椭圆的方程为。
(2)直线的方程为。
由得点的纵坐标为。
又。10、我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．
1）若是边长为1的等边三角形，求。
果圆”的方程；
（2）当时，求的取值范围；
3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”
的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
解：（1），于是，所求“果圆”方程为。
2）由题意，得 ，即．得． 又。
（3）设“果圆”的方程为，．
记平行弦的斜率为．
当时，直线与半椭圆的交点是。
与半椭圆的交点是．
的中点满足得． ，
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
11、 在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点。 若抛物线过点，求焦点到直线的距离。
[解] 由已知可得。
解得抛物线方程为。
于是焦点。
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