函数的图像

[a组基础演练·能力提升]

一、选择题。

1．(2024年广州模拟)函数y＝(a>1)的图像的大致形状是( )

解析：由题意知，y＝＝，又a>1，所以由y＝ax的图像可知，b选项符合题意．

答案：b2．函数f(x)＝logcos x的图像大致是( )

解析：因为f(－x)＝logcos(－x)＝logcos x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除a、b；又f＝logcos＝log＝1，故排除d，应选c.

答案：c3．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(1－x)的图像大致是( )

解析：由f(x)＝，得f(1－x)＝.

因此，x≥0时，y＝f(1－x)为减函数，且y>0；x<0时，y＝f(1－x)为增函数，且y<0.故选c.

答案：c4.如图，半径为2的⊙o与直线mn相切于点p，射线pk从pn出发绕点p逆时针方向旋转到pm，旋转过程中，pk交⊙o于点q，设∠poq为x，弓形pmq的面积为s＝f(x)，那么f(x)的图像大致是( )

解析：利用函数的凹凸性可知选d.

答案：d5．已知函数f(x)的图像向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )

a．c>a>bb．c>b>a

c．a>c>b d．b>a>c

解析：由题意得f(x＋1)的图像关于y轴对称，则f(x)的图像关于x＝1对称，满足f(x)＝f(2－x)，∴a＝f＝f. 又由已知得f(x)在(1，＋∞上为减函数，∴f(2)>f>f(3)，即b>a>c.

答案：d6．对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数f(x)＝(x2－2)(x－1)，x∈r.若函数y＝f(x)－c的图像与x轴上恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )

a．(－1,1]∪(2，＋∞b．(－2，－1]∪(1,2]

c．(－2)∪(1,2] d．[－2，－1]

解析：令(x2－2)－(x－1)≤1，得－1≤x≤2，∴f(x)＝，y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，画出函数的图像得知实数c的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．故选b.

答案：b二、填空题。

7．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是___

解析：如图，作出y＝x2－|x|＋a的图像，若要使y＝1与其有4个交点，则需满足a－<1答案：

8．已知函数y＝f(x)(x∈r)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图像交点的个数为___

解析：根据f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，则函数f(x)是以2为周期的函数，分别作出函数y＝f(x)与y＝log5x的图像(如图)，可知函数y＝f(x)与y＝log5x的图像的交点个数为4.

答案：49．(2024年绵阳模拟)已知函数f(x)＝xsin，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是___

解析：要使对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)，f(x2)分别为函数的最小值与最大值．由函数图像知|x1－x2|的最小值为半个周期2π.

答案：2π三、解答题。

10．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，求a的取值范围．

解析：当0由已知得0<2a<1，∴0当a>1时，y＝|ax－1|的图像如图(2)所示．

由已知可得0<2a<1，01，故a∈.

综上可知，a的取值范围：.

11．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈r)，且f(4)＝0.

1)求实数m的值；

2)作出函数f(x)的图像；

3)根据图像指出f(x)的单调递减区间；

4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；

5)求当x∈[1,5)时函数的值域．

解析：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.

2)f(x)＝x|4－x|

f(x)的图像如图所示．

3)f(x)的单调递减区间是[2,4]．

4)由图像可知，f(x)>0的解集为．

5)∵f(5)＝5>4，由图像知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．

12．(能力提升)已知定义域为r的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且对x∈r，恒有f(x＋1)≥f(x)，求实数a的取值范围．

解析：当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2

因为函数f(x)为奇函数，故函数f(x)的图像关于原点对称，如图所示．因为f(x＋1)的图像可以看作由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到，需将函数f(x)的图像至少向左平移4a2个单位才能满足不等式f(x＋1)≥f(x)恒成立，所以4a2≤1，故a∈.

b组因材施教·备选练习]

1．(2024年济南模拟)函数f(x)＝ln的图像是( )

解析：自变量x满足x－＝>0，当x>0时可得x>1，当x<0时可得－1答案：b

2．函数f(x)＝的图像上关于y轴对称的点共有( )

a．0对 b．1对

c．2对 d．3对。

解析：因为y＝cos πx是偶函数，图像关于y轴对称．

所以，本题可转化成求函数y＝log3x与y＝cos πx图像的交点个数的问题．

作函数图像如图，可知有三个交点，即函数f(x)图像上关于y轴对称的点有3对．

答案：d3．设方程3x＝|lg (－x)|的两个根为x1，x2，则( )

a．x1x2＜0 b．x1x2＝1

c．x1x2＞1 d．0＜x1x2＜1

解析：函数y＝3x与函数y＝|lg (－x)|的图像如图所示，由图示可设x1＜－1＜x2＜0，则0＜3x1＜3x2＜1，且可得。

3x1－3x2＝lg (－x1)＋lg (－x2)＝lg x1x2，3x1－3x2＜0，∴0＜x1x2＜1，故应选d.

答案：d

函数的图像

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