2023年高考数学试题汇编——圆锥曲线（一）
1、（重庆文）已知以f1（2,0），f2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ c ）
（a） （b） （c） （d）
【解答】设椭圆方程为消x得：
即：又联立解得。
由焦点在x轴上，故长轴长为。
2、（重庆文）（21）（本小题满分12分，（ⅰ小问4分，（ⅱ小问8分）
如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点f，且与抛物线交于a、b两点。
题（21）图。
（ⅰ）求抛物线的焦点f的坐标及准线l的方程；
（ⅱ）若a为锐角，作线段ab的垂直平分线m交x轴于点p，证明|fp|-|fp|cos2a为定值，并求此定值。
【解答】（ⅰ设抛物线的标准方程为，则，从而。
因此焦点的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
答（21）图。
（ⅱ）解法一：如图（21）图作ac⊥l，bd⊥l，垂足为c、d，则由抛物线的定义知。
|fa|=|fc|,|fb|=|bd|.
记a、b的横坐标分别为xxxz，则。
|fa|＝|ac|＝解得，类似地有，解得。
记直线m与ab的交点为e，则。所以。故。
解法二：设，，直线ab的斜率为，则直线方程为。
将此式代入，得，故。
记直线m与ab的交点为，则，故直线m的方程为。
令y=0,得p的横坐标故。
从而为定值。
3、（重庆理）过双曲线的右焦点f作倾斜角为的直线，交双曲线于pq两点，则|fp||fq|的值为。
【分析】：代入得：设。又。
4、（重庆理）(本小题满分12分)如图，中心在原点o的椭圆的右焦点为f（3，0），右准线l的方程为：x = 12。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明。
为定值，并求此定值。
解：（i）设椭圆方程为．
因焦点为，故半焦距．
又右准线的方程为，从而由已知，因此，．
故所求椭圆方程为．
（ii）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有。
解得 ．因此，而，故为定值．
5、（浙江文）已知双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，p是准线上一点，且p f1⊥p f2，｜p f1｜｜p f2 ｜＝4ab，则双曲线的离心率是（b）
(a) (b) (c)2 (d)3
【解答】：设准线与x轴交于a点。 在中， ,又 ,化简得 , 故选答案b
【高考考点】双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识。
【易错点】：不能联系三角形的有关知识，找不到解题方法而乱选。
【备考提示】：双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点，且方法较多，要善于总结各种方法，灵活应用。
6、（浙江文）(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于a、b两点，记△aob的面积为s．
（i）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，s的最大值；
（ⅱ）当｜ab｜＝2，s＝1时，求直线ab的方程．
本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
（ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以．
当且仅当时，取到最大值．
（ⅱ）解：由得，，①
设到的距离为，则，又因为，所以，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，故直线的方程是。
或或，或．【高考考点】椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等知识。
【易错点】：不能准确计算或轻易舍掉一些答案。
【备考提示】：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．故此类问题一方面要求考生能熟练掌握相关知识，并且能够有较高的分析问题和解决问题的能力，同时还要有较强的运算能力和不懈的毅力。
7、（浙江理）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（ b ）
【分析】：设准线与x轴交于a点。 在中， ,又 ,化简得 , 故选答案b
8、（天津文）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ d ）
【解析】∵抛物线的准线为，故有---
又∵双曲线的离心率为，故有。
①②得到，进而求出， ∴双曲线的方程为。
2023年高考数学试题汇编——圆锥曲线（二）
9、（天津文）（本小题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（ⅰ）证明；
（ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中，由于点在椭圆上，有，解得，从而得到，直线的方程为，整理得。
由题设，原点到直线的距离为，即，将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点作，垂足为，易知，故。
由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即．
（ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组。
的解．当时，由①式得。
代入②式，得，即，于是，．若，则。
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．
10、（天津理）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（ⅰ）证明；
（ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为．
过点作，垂足为，易知，故．
由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即．
（ⅱ）解法一：设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组。
将①式代入②式，得，整理得，于是，．由①式得。
由知．将③式和④式代入得，．
将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组。
所以，．由知，即，解得．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为 ．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．
记（显然），点的坐标满足方程组。
由①式得． ③
由②式得． ④
将③式代入④式得．
整理得，于是． ⑤
由①式得． ⑥
由②式得． ⑦
将⑥式代入⑦式得，整理得，于是． ⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得，．
将代入上式，得．
所以，点的轨迹方程为．
11、（四川文）如果双曲线＝1上一点p到双曲线右焦点的距离是2,那么点p到y轴的距离是。
(a) (b) (c) (d)
解析：选a．由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是．
12、（四川文）已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点a、b，则|ab|等于。
a.3 b.4 c.3 d.4
解析：选c．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
13、（四川文）(本小题满分12分)设、分别是椭圆的左、右焦点．
（ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；
（ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
（ⅰ）易知，，．
∴，．设．则，又，联立，解得，．
（ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立。∴，由，得．①
又为锐角，∴又。
综①②可知，∴的取值范围是．
2023年高考数学试题汇编——圆锥曲线（三）
14、（四川理）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点。
（ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
（ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（ⅰ解法一：易知。
所以，设，则。
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值。
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值。
解法二：易知，所以，设，则。
（以下同解法一）
由得：或。又。
又。∵，即 ∴
故由①、②得或。
15、（上海理）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。
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