初三第一学期期末学业水平调研。数学
学校姓名准考证号。
一、选择题 （本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在**中相应的位置．
1．抛物线的顶点坐标为。
a． bc． d．
2．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为。
ab．cd．
3．方程的根的情况是。
a．有两个不相等的实数根 b．有两个相等的实数根。
c．无实数根d．只有一个实数根。
4． 如图，一块含30°角的直角三角板绕点顺时针旋转到△，当，，在一条直线上时，三角板的旋转角度为。
a．150b．120°
c．60d．30°
5．如图，在平面直角坐标系中，b是反比例函数的图象上的一点，则矩形oabc的面积为。
ab． cd．
6．如图，在中，，且de分别交ab，ac于点d，e，若，则△和△的面积之比等于。
ab． cd．
7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点a与b之间的距离为10cm，双翼的边缘54cm，且与闸机侧立面夹角 30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为。
图1图2a．cmb．cm
c．64 cmd． 54cm
8．在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是。
abcd.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．方程的根为。
10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为。
11．已知抛物线的对称轴是，若该抛物线与轴交于，两点，则的值为。
12．在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象有两个交点，则的取值范围是。
13．如图，在平面直角坐标系中，有两点，，以原点为位似中心，把△缩小得到△. 若的坐标为，则点的坐标为。
14．已知，是反比例函数图象上两个点的坐标，且，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式。
15．如图，在平面直角坐标系中，点，判断在四点中，满足到点和点的距离都小于2的点是。
16．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，⊙的半径为1，直线切⊙于点，则线段的最小值为。
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）
17．计算：．
18．如图，与交于点，，，求的长．
19．已知是关于的一元二次方程的一个根，若，求的值．
20．近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：
1）在下列函数中，符合上述**中所给数据的是。
ab．cd．
2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为___米．
21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙o及⊙o上一点p.
求作：过点p的⊙o的切线．
作法：如图，1 作射线op；
在直线op外任取一点a，以点a为圆心，ap为半径作⊙a，与射线op交于另一点b；
连接并延长ba与⊙a交于点c；
作直线pc；
则直线pc即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
2）完成下面的证明：
证明：∵ bc是⊙a的直径， ∠bpc=90填推理的依据）．
op⊥pc．
又∵ op是⊙o的半径， pc是⊙o的切线填推理的依据）．
22．2023年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景。 大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的a点和东人工岛上的b点间的距离约为5.6千米，点c是与西人工岛相连的大桥上的一点，a，b，c在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达p点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠dpa=18°，∠dpb=53°，求此时观光船到大桥ac段的距离的长．
参考数据：°，
23．在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的一个交点是．
1）求的值；
2）设点是双曲线上不同于的一点，直线与轴交于点．
若，求的值；
若，结合图象，直接写出的值．
24．如图，a，b，c为⊙o上的定点．连接ab，ac，m为ab上的一个动点，连接cm，将射线mc绕点顺时针旋转，交⊙o于点d，连接bd．若ab=6cm，ac=2cm，记a，m两点间距离为cm，两点间的距离为cm．
小东根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了**。
下面是小东**的过程，请补充完整：
1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：
2）在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
3）结合画出的函数图象，解决问题：当bd=ac时，am的长度约为 cm．
25．如图，ab是⊙o的弦，半径， p为ab的延长线上一点，pc与⊙o相切于点c，ce 与ab交于点f．
1）求证：pc=pf；
2）连接ob，bc，若， ，求fb的长。
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线g：，．
1）当时，求抛物线g与轴的交点坐标；
若抛物线g与线段只有一个交点，求的取值范围；
2）若存在实数，使得抛物线g与线段有两个交点，结合图象，直接写出的取值范围．
27．已知在△abc中，ab=ac，∠bac=α，直线l经过点a（不经过点b或点c），点c关于直线l的对称点为点d，连接bd，cd．
1）如图1， 求证：点在以点为圆心，为半径的圆上。
直接写出∠bdc的度数（用含α的式子表示）为。
2）如图2，当α=60°时，过点d作bd的垂线与直线l交于点e，求证：ae=bd；
3）如图3，当α=90°时，记直线l与cd的交点为f，连接．将直线l绕点a旋转，当线段bf的长取得最大值时，直接写出的值．
图1图2图3
28．在平面直角坐标系中，已知点和点，给出如下定义：以为边，按照逆时针方向排列a，b，c，d四个顶点，作正方形，则称正方形为点，的逆序正方形．例如，当，时，点，的逆序正方形如图1所示．
图1图21）图1中点的坐标为 ；
2）改变图1中的点a的位置，其余条件不变，则点c的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为 ；
3）已知正方形abcd为点，的逆序正方形。
判断：结论“点落在轴上，则点落在第一象限内．”_填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；
⊙的圆心为，半径为1. 若，，且点恰好落在⊙上，直接写出的取值范围。
备用图。
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