1．计算题。
4. 设，求。
5. ，其中由曲面，，，所围成。
2．设，，，证明：收敛，并求。
3．设在上可微，且，求证：存在，使得。
4．设有连续的一阶偏导数，其中可微，且，证明。
5．求曲面和所围立体的表面积（）.
6．求证：级数，1）在任何区间上一致收敛，（这里）；
2）在内连续；
3）在内不一致收敛。
7．设，1）求的定义域；
2）求证有任意阶连续的导数；
3）求。8．设为（）的上侧。
求证。9．(1)证明：在上是一致连续的；
2)讨论在上是否lipschitz连续，即存在常数，使得，.
2024年武汉大学数分考研试题解答。
一、 1、解。
2、 解，所以。
3、 解 4、解简略 。
5、 解。（多次分部积）。
二、证明 方法一。
1）当时，因为，于是得压缩序列是收敛的，设，显然；
在两边令取极限得到，从而，解得，因为，故。
（2）当，时，得，，，由此推出单调递增，单调递增，令，则有，由此得，单调递增有界，设，显然；
在两边令取极限得到，从而，解得，因为，故。
方法二令，则有，从而，于是。
三、 证明令，由积分中值定理，存在，使得，于是有，由罗尔中值定理，得存在，使得，即 。
四、 ，于是，五、 解两曲面的交线为，曲面的面积。
则所求曲面的面积为。
3.六、证明对任意，当时，设，而收敛，所以在上一致收敛；
由在上连续，所以在上连续，由的任意性，知在上连续；
由，显然发散，所以在内不一致收敛。
七、设。证明（1） 设，则有在上连续，且有，而收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，积分在上一致收敛，所以的定义域为；
2），在上连续，且有，，而，收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，积分，均在上一致收敛，
于是在上连续可微，且在上具任意阶的连续导数；，；
3） ，由此得，积分得。
从而有，故 .
八、证明设，
与所围的区域为，显然点在的外部，曲面没有罩着点。
利用高斯公式，得。
此题出的错误。
应把曲面方程改为使与所围的区域含点。曲面应罩着点。
改为：为（）的上侧。
求证。证明取充分小，与所围的区域为，利用高斯公式，得。
九、证明 （1）对，成立，由此知在上是一致连续的；
2） 因为在内可导，导函数在内无界，所以在上不是lipschitz连续的。
注：设，则对，
成立。（这个结果，用简单初等方法就能证出。）
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