北京大学2005 数学专业研究生数学分析。
1. 设，试求和。
解： 当然此上极限可以。
令。此下极限当然可以。
令。2. (1)设在开区间可微，且在有界。证明在一致连续。
证明： 由存在。
这显然就是。
2) 设在开区间可微且一致连续，试问在是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明）
证明：否定回答。
闭区间上连续函数一致连续。所以。
显然此而。3．设。
(1)求的麦克劳林展开式。
2)求。解： 这道题目要是直接展开是很麻烦的。先对原式做一下变形。有。
. 又由于。
比较系数有：，接下来，若中，此时令。
有。同理可得：， 综合得：
4．试作出定义在中的一个函数，使得它在原点处同时满足以下三个条件：
（1）的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续。
解： 。显然这个函数在的时候，有偏导数存在。
而对于的时候，有，此式在原点也成立。
对于任意方向极限，有。显然沿任意方向趋于原点。
此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向趋向原点。不妨设有不同的极限。
。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。
5．计算。其中是球面与平面的交线。
解：首先，曲线是球面与平面的交线。因为平面过原点，球面中心为原点。
所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有。
因此有 ==
6．设函数列满足下列条件：（1），在连续且有（）
（2）点点收敛于上的连续函数。
证明：在上一致收敛于。
证法1：首先，因为对任意。且有，所以，对于任意，有。
又因为在点连续。所以可以找到，当时。有，以及。
同时成立。因此，当， 时，有。
如此，令，所以有开区间族覆盖了区间。
而在闭区间上连续。由heine-borel 定理，从开区间族中可以选出有限个，使。由的选法。可由相应与，当，且时，有。
取，当时，且，有成立。所以在上一致收敛于。
证毕。证法2：反证法。设存在某，对于任意，有一，使得．又有界，由bolzano-weierstrass定理，所以其必存在。
收敛子列收敛于中某值．因为对任意。
且有，所以，当时，有．
设某，由与连续性．存在一，当时。
有同时成立．显然，又因为．所以存在值， ．
当时，成立．最后，当时，有。
＜．这与假设矛盾．
所以在上，是一致收敛于．证毕．
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