西北大学2024年招收攻读硕士学位研究生试题。
科目名称：数学分析科目代号：345
适用专业：数学系各专业。
一． 单项选择题：（本题共36分，每小题6分）
1.下列命题成立的是（d）
a. 若数列严格单增且有上界，则。
b. 有界发散数列应有无穷多个聚点。
c. 若数列收敛于，则。
d. 设是非空有界数集，且，则是单元素集。
解析：取数列…，显然数列严格单增且有上界，但；
取数列…，显然数列是有界发散数列，但它只有两个聚点；
取数列…，显然，但。
2. 若函数在内的任一闭区间上都连续，则（c）
a. 在上连续b. 在上一致连续。
c. 在内连续d. 在内未必连续。
解析：因为函数在内的任一闭区间上都连续。
所以对任给的，函数在闭区间上都连续。
下证：函数在内连续。
对任意的，不妨取。
则， 因为函数在上连续。
所以函数在上连续。
所以函数在点处连续。
又点为内任意一点。
故函数在内连续。
3. 若函数在内存在原函数，则（a）
a.在内可导b.在内连续。
c.与在内连续d.在内不一定连续。
解析：因为为函数在内的原函数。
所以对任意的，都有。
故函数在内可导。
4. 若级数收敛，则级数（d）
a. 绝对收敛b. 条件收敛。
c. 不收敛d. 可能收敛，也可能发散。
解析：当取级数时，级数收敛，级数发散；
当取级数时，级数收敛，级数也收敛。
5. 含参变量积分关于参变量在（d）
a.上一致收敛b.上一致收敛。
c.上收敛d.上一致收敛。
解析：记。因为发散。
所以含参变量积分关于参变量在处发散。
又（ⅰ）对一切实数，含参变量正常积分关于参变量在上一致有界；
ⅱ）对任意的，函数关于参变量单调递减，且当时，函数关于参变量在上一致收敛于零。
故由狄利克雷判别法知，含参变量反常积分在上一致收敛。
6. 若函数在点处沿任意方向的方向导数都存在，则（c）
a.在点处连续b.在点处可微。
c.及都存在d.及点处都连续。
解析：（ⅰ二元函数在一点可微是其方向导数存在的充分条件而不是必要条件；（ⅱ二元函数在一点连续既不是其方向导数存在的必要条件也不是其方向导数存在的充分条件；
ⅲ）分别表示函数在点处沿轴正向，轴正向的方向导数。
二． 计算题：（本题共54分）
1.设函数，求。（本题10分）
解： 2.设函数在原点的某领域内有二阶连续偏导数，求。（本题14分）
解：对函数，由二元函数的泰勒公式有。
其中，；其中，.所以。又。
故。3.设函数连续，，求。（本题10分）
解：对函数，有。
再由极坐标变换，有。
又由积分第一中值定理，有。
所以。故。
4.求极限，其中。 （本题10分）
解：令，则在极坐标变换的作用下，平面上的有界闭区域与平面上的闭区域对应。变换的函数行列式为。
故。5.计算曲线积分，其中是圆周，若从轴正向看去沿逆时针方向行进。 （本题10分）
解：这里。由斯托克斯公式，有。
其中，曲面为圆周所围成的区域，即为平面上的圆（大圆）.
由可求得该大圆的半径。
又由与的对应关系知，为平面的上侧。于是。故。
三． 证明题：（本题共60分，每小题15分）
1. 若函数在上严格单增，且对任意的（…）都有，则。
2. 若函数，且，则存在，使得。
证：令。则在闭区间上连续；在开区间内可导；且即。
所以函数在上满足罗尔中值定理的三个条件。
于是由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得。又。故即。
3. 设函数，证明：函数列在上一致收敛于零。
证：因为函数在上连续。
所以函数在处连续，即。
于是对任给的，总存在（不妨设），使得当时，有。
即当时，有。
又因为函数在上连续。
所以函数在上有界。
又对一切，都有。
所以对一切，都有。
所以对任给的，总存在，使得当时，对一切，都有。
所以函数列在上一致收敛于零。
于是对任给的，总存在，使得当时，对一切，都有。
故函数列在上一致收敛于零。
4. 设函数，满足方程（其中有连续的一阶偏导数），证明：.
证：设函数关于第一个中间变量，第二个中间变量，第三个中间变量的偏导数分别为。
对方程两端关于求导，得：
所以。同理可得。故。
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