2024年郴州市能力竞赛试卷样卷。
初中数学。试题卷）
本试卷共*页，有3道大题，16小题，满分130分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．5张不同卡片分别写有数字2,3,4,5,6,从中任意取出3张，则这三张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是。
abcd．
2．点p是直线上一动点，o为原点，则|op|的最小值为
a．2bcd．4
3．已知abc≠0，并且则直线一定经过。
a．第。一、三象限 b．第。
二、三象限 c．第。
三、四象限 d．第。
一、四象限。
4．已知，则。
abc． d．
5．如果，那么的最小值是。
a．2014b． c．4028d．
6．如图，为等腰三角形内一点，过分别作三条边、、的垂线，垂足分别为、、.已知，，且。则四边形的面积为。
a．10b．15cd．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
7．已知则。
8．分解因式。
9. 正方形a1b1c1o，a2b2c2c1，a3b3c3c2，…，按如图方式放置，点a1，a2，a3…和点c1，c2，c3，…，分别在直线和x轴上．已知点b1（1，1），b2（3，2），请写出点bn的坐标是。
10．已知直线与抛物线交于，两点，则。
11．如图，已知正方形的边长为1，点，分别在边，上，且，则的周长为。
12．若时，二次函数的最小值为，则。
三、解答题（13～14每题15分，15～16每题20分，共70分）
13.若关于的二次函数与轴的两个交点的横坐标分别是，试求的最小值。
14. 在□abcd中，∠bad的平分线交直线bc于点e，交直线dc于点f．
（1）在图1中证明；
（2）若，g是ef的中点（如图2），直接写出∠bdg的度数；
（3）若，fg∥ce，，分别连结db、dg（如图3），求∠bdg 的度数．
15.已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于a，b两点，点p在该函数图象上， p到轴，轴的距离分别为，.
1）当p为线段ab的中点时，求的值；
2）直接写出的范围，并求当时点p的坐标；
3）若**段ab 上存在无数个p点，使（为常数）， 求的值。
16. 如图，在平面直角坐标系中，a（10，0），以oa为直径在第一象限内作半圆，b为半圆上一点，连接ab并延长至c，使bc=ab，过c作cd⊥x轴于点d,交线段ob于点e.已知cd=8，抛物线经过o，e，a三点。
1）求直线ob的函数表达式；
2）求抛物线的函数表达式；
3）若p为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以p，o，a，e为顶点的四边形面积记作s，则s取何值时，相应的点p有且只有3个。
2024年郴州市能力竞赛试卷样卷。
初中数学参***。
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
3. b 若a+b+c≠0，由等比性质可知：
若a+b+c=0，则a+b=-c，
解析： 由，知，，，
解析：如图，连结，，.易知。
， 由知点在的平分线上，、三点共线。 ∴
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
解析：由，得①，依题意，，为方程①的两根，∴∴
解析：如图，在的延长线上取点，使得，连结。
则由为正方形，易得。
于是，在与中。的周长。
解析：∵，若，即时，则当时，取最小值。
由知，，不符合要求。
若，即时，则当时，取最小值由知，，得，均不符合要求。
若，即时，则当时，取最小值。由知，，符合要求。 ∴
三、解答题（13～14每题15分，15～16每题20分，共70分）
13. 解：由题意知：为方程的两根，△=
由韦达定理得：
当时，函数值随m值得增大而减小，当时，.
当时，函数值随m值得增大而增大，当时，.
综上，的最小值为8.
14. (1) 证明：如图1.
∵ af平分bad，∴baf=daf，∵ 四边形abcd是平行四边形，∴ ad//bc，ab//cd。
∴ daf=cef，baf=f，∴ cef=f，∴ ce=cf．
(2) bdg=45．
(3) 分别连结gb、ge、gc(如图2).
ab//dc，abc=120，ecf=abc=120，fg //ce且fg=ce,四边形cegf是平行四边形．
由(1)得ce=cf, ∴cegf是菱形，eg=ec，gcf=gce=ecf=60．
ecg是等边三角形。
eg=cg,gec=egc=60,gec=gcf,beg=dcg,由ad//bc及af平分bad可得bae=aeb，ab=be.
在□abcd中，ab=dc.
be=dc,beg △dcg.
bg=dg，1=2,bgd=13=23=egc=60.
∴ bdg= (180bgd)=60．
15.解：（1）∵一次函数的图像与轴、轴分别相交于点a、b，.∵p为线段ab的中点，∴.
∵设，.∴当时，由解得，与不合，舍去。
当时，由解得，此时。
当时，由解得，此时。
综上所述，当时点p的坐标为或。
3）设，∴.
点p**段ab 上，∴.存在无数个p点，∴.
16. 解：（1）如答图1，连接oc，
oa为直径 ∴ob⊥ac，又ab=bc，∴ob是的垂直平分线。∴oc=oa=10.
在rt△ocd中，oc=10，cd=8，∴od=6.
c(6，8)，b(8，4).
直线ob的函数表达式为。
2）∵e点的横坐标为6，∴e点纵坐标为3，即e(6，3)．∵抛物线过o(0，0)，e(6，3) ，a(10，0)，∴设此抛物线的函数关系式为，把e点坐标代入得，解得。 ∴此抛物线的函数关系式为，即．
3）设点，
若点p在cd的左侧，延长op交cd于q，如答图2，op所在直线函数关系式为：，当x=6时，，即q点纵坐标为。
s四边形poae= s△oae ＋s△ope = s△oae ＋s△oqe－s△pqe
12分）若点p在cd的右侧，延长ap交cd于q，如答图3，，a(10，0)，设ap所在直线方程为：y=kx＋b，把p和a坐标代入得，解得。∴ap所在直线方程为：.
当x=6时，，即q点纵坐标为。∴qe=.
s四边形poae= s△oae ＋s△ape= s△oae ＋s△aqe －s△pqe
当p在cd右侧时，四边形poae的面积最大值为16，此时点p的位置就一个，令，解得，.
当p在cd左侧时，四边形poae的面积等于16的对应p的位置有两个。
综上知，以p、o、a、e为顶点的四边形面积s等于16时，相应的点p有且只有3个．
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