九年级数学竞赛试题

命题人：初三数学备课组。

共7题，满分100分考试时间：100分钟。

姓名：班级。

1. 如图：直线y=kx＋3与x轴、y轴分别交于a、b两点，tan∠oab=,点c(x,y)是直线y=kx+3上与a、b不重合的动点。（1）求直线y=kx+3的解析式；

2）当点c运动到什么位置时△aoc的面积是6；

3）过点c的另一直线cd与y轴相交于d点，是否存在点c使△bcd与△aob全等？若存在，请求出点c的坐标；若不存在，请说明理由。

2. 如图。在梯形abcd中。

ad∥bc.∠b＝90°.bc＝点同时从b点出发。

沿射线bc向右匀速移动。已知f点移动速度是e点移动速度的2倍。以ef为一边在cb的上方作等边△efg．设e点移动距离为x(x＞0).

efg的边长是用含有x的代数式表示).当x＝2时。点g的位置在若△efg与梯形abcd重叠部分面积是y.

求 ①当0＜x≤2时。y与x之间的函数关系式， ②当2＜x≤6时。y与x之间的函数关系式， ⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时。

存在最大值。并求出最大值。

3. 如图，rt△abo的两直角边oa、ob分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，o为坐标原点，a、b两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过b点，且顶点在直线上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△dce是由△abo沿x轴向右平移得到的，当四边形abcd是菱形时，试判断点c和点d是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若m点是cd所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点m作mn平行于y轴交cd于点n．设点m的横坐标为t，mn的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点m的坐标．

4. 如图，在直角坐标系中，梯形abcd的底边ab在x轴上，底边cd的端点d在y轴上．直线cb的表达式为，点a、d的坐标分别为（－4，0），（0，4）．动点p自a点出发，在ab上匀速运动．动点q自点b出发，在折线bcd上匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点p运动t（秒）时，△opq的面积为s（不能构成△opq的动点除外）．

1）求出点b、c的坐标；

2）求s随t变化的函数关系式；

3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值．

5. 在△abc中，∠a＝90°，点d**段bc上，∠edb＝∠c，be⊥de，垂足为e，de与ab相交于点f．(1)当ab＝ac时，（如图1），①ebf**线段be与fd的数量关系，并加以证明；（2）当ab＝kac时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．

6. 如图，已知一次函数y=kx+的图象经过点m（2，0），与正比例函数y=x的图象交于点a，过点a作ab垂直于x轴于点b．（1）求k值；并计算y=kx+的图象与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求交点a的坐标，计算am的长；（3）在x轴上是否存在点p，使得以点p、a、m组成的三角形为等腰三角形？如果存在，请直接写出点p的坐标；如果不存在，请说明理由．

7.等腰△abc，ab=ac=8，∠bac=120°，p为bc的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点p，三角板绕p点旋转．（1）如图1，三角板两边分别交ab，ac于点e，f时，求证：△bpe∽△cfp；

2）操作：将三角板绕点p旋转到图2的情形时，三角板的两边分别交ba的延长线、边ac于点e，f．

**1：△bpe与△cfp还相似吗？（只需写出结论）

**2：连接ef，△bpe与△pfe是否相似？请说明理由．

设ef=m，△epf的面积为s，试用含m的代数式表示s．

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