湖北省100所重点中学2023年10月高三联考。
数学（理科）试卷。
集合与常用逻辑用语、函数与导数占50％，数列占50％.
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1． 若函数的定义域为，函数，的值域为，则为（ c ）
2． 已知等比数列的公比为正数，且，则的值为（ b ）
3． 已知命题；命题，则命题是命题的（ d ）
充分不必要条件必要不充分条件。
充要条件既不充分也不必要条件。
4． 等差数列中，若，，则等于（ d ）
5． 若函数在处有极值，则函数的图象在处的切线的斜率为（ a ）
6． 数列满足下列条件：，且对于任意的正整数（，）恒有，则的值为（ d ）
7． 若，则等于（ c ）
8． 已知甲、乙两个车间的月产值在年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到年月份发现两个车间的月产值又相同．比较甲、乙两个车间年月份的月产值大小，则有（ c ）
甲的产值小于乙的产值甲的产值等于乙的产值。
甲的产值大于乙的产值不能确定。
9. 已知数列（）满足，且，其中，若（），则的最小值为（ b ）
10．已知定义在上的函数的图象关于点对称，且当时，成立，（其中是的导函数），若，，，则，，的大小关系是（ c ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知数列的通项公式，前项和为，则当最小时， _
12．命题“，”的否定是。
13．已知数列的前项和为，，，则___
14. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为___此时的取值集合为。
15．如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为；第二层在第一层线段的前端作两条与其成角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第层，设树形的第层的最高点至水平线的距离为第层的树形的总高度，则到第四层的树形图的总高度___当为偶数时，到第层的树形图的总高度。
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．(本小题满分10分)
已知，设不等式；函数有两个不同的零点，求使“”为真命题的实数的取值范围。
解】由解得。……2′
又由有两个不同的零点，得两不等根，，解得或。……6′
故为真命题时，、都为真命题，即。
解得实数的取值范围是。……10′
17．(本小题满分12分)
数列中，，已知点在直线上。
ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ若，求数列的前项和．
解】（ⅰ点在直线上，∴，即。
数列是以为首项，为公差的等差数列。∴.5′
-②得： 故。……12′
18．(本小题满分12分)
某电视生产企业有、两种型号的电视机参加家电下乡活动。若企业投放、两种型号电视机的价值分别为、万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为、（，且为常数）万元。已知该企业投放总价值为万元的、两种型号的电视机，且、两种型号的投放金额都不低于万元。
ⅰ）设投放型电视机的金额为万元，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；
ⅱ）当投放型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？
解】（ⅰ投放型电视机的金额为万元，∴投放型电视机的金额为万元。
农民得到的总补贴为：
1）若，即，则当时，.
在上递减，当时，取最大值；……7′
（2）若，即，则当时，；当时，，∴在上递增，在上递减。
当时，取最大值；……9′
（3）若，即，则当时，.
在上递增，当时，取最大值；……10′
故当时，投放型电视机的金额为万元；当时，投放型电视机的金额为万元；当时，投放型电视机的金额为万元，农民得到的总补贴最大。……12′
19．(本小题满分13分)
设函数是定义在上的单调函数，对于任意正数、都有。
且。ⅰ）求的值；
ⅱ）一个各项均为正数的数列满足：（）其中是数列的前项和，求数列的通项公式。
解】（ⅰ在中，令得：；
令，得：.…5′
又是定义在上的单调函数，，
当时，，得，当时，
化简得，∴，数列是以为首项，以为公差的等差数列。
20．(本小题满分14分)
已知函数。ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）设，求在上的最大值；
ⅲ）试证明：对任意，不等式恒成立。
解】（ⅰ设，则。
又，∴在上是增函数。
当时，；当时，故函数的增区间是，减区间是。……5′
ⅱ）由（ⅰ）知，当，即时，；
当，即时，；
当时，.…10′
ⅲ）由（ⅰ）知，，，即恒成立。
对任意的恒有。，∴14′
21．(本小题满分14分)
已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的，，且，有。
ⅰ）求证：；
ⅱ）求证：；
ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合。
解】（ⅰ依题意有（、、
又，∴ （、、即。……4′
ⅱ）由（ⅰ）得，又，∴，得。
同理由可得，又，∴，均成立。
当时，取，则，得。又当时，
ⅲ）对于任意，
由（、、知，即。
因此，只需对，成立即可，
可设，，，由得，取；由得，取；
由得，取；由得，取；
故满足条件的一个集合。……14′
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