第3章导数及其应用。
题组一。一、选择题。
1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）
求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是。
ab． cd．
分析】根据定积分的几何意义，确定积分限和被积函数。
解析】两函数图象的交点坐标是，故积分上限是，下限是，由于在上，，故。
求曲线与所围成图形的面。
考点】导数及其应用。
点评】本题考查定积分的几何意义，对定积分高考可能考查的主要问题是：利用微积分基本定理计算定积分和使用定积分的几何意义求曲边形的面积。
2.（江西省南昌市新建二中、莲塘一中2011届高三上学期12月联考理）
函数的反函数是（ ）ab．c
答案 d.3．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）
已知函数在区间(，1)上有最小值，则函数在区间。
1，上一定 （
a．有最小值 b．有最大值 c．是减函数 d．是增函数。
答案 d.4. （北京市房山区2023年高三上学期期末统练试卷文） 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数的取值范围是。a）b）
c）d）
答案 b.二、填空题。
5．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）
已知上有两个不同的零点，则m的取值范围为 。
答案 三、简答题。
6．（安徽省野寨中学、岳西中学2011届高三上学期联考文）（本小题满分12分）
已知函数．求：
i）函数的最小正周期；
ii）函数的单调增区间。
答案 7．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）设函数。
1）当时，求的最大值；
2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
分析】（1）函数的定义域是，把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（2）即函数的导数在小于或者等于恒成立，分类参数后转化为函数的最值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解。
解析】（1）依题意，知的定义域为（0，+∞当时，（2′）令=0，解得．（∵
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因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值………4分。
（2），则有≤，在上恒成立，所以≥，（8′）
当时，取得最大值，所以≥……8分。
（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则．令，．
因为，，所以（舍去），当时，，在（0，）上单调递减，当时，，在（，+单调递增。
当时，=0，取最小值．（12′）
则既。所以，因为，所以（*）
设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，即，解得．…12分。
考点】导数及其应用。
点评】本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面。本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的【解析】中的方程组，由这个方程组求解使用了构造函数通过函数的性质得到的方法也是值得仔细体会的技巧。
8. （安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）
（本题满分12）设函数。（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积。
答案 8、（1）最小正周期，单调递减区间是。
9．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）
本小题满分13分）已知函数。
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
3）证明：答案 （1）
当时，有，此时上单调递增，当时，此时单调递增，在上单调递减。
（2）恒成立在恒成立，（3）证明略。
10．（安徽省合肥八中2011届高三第一轮复习四考试理）（3分）已知函数。
（1）求的单调区间与极值；
（2）若函数上是单调减函数，求实数a的取值范围。
答案 11. （北京市房山区2023年高三上学期期末统练试卷文）（本小题满分14分）
已知函数。ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；
ⅱ)求的单调区间；
ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。
答案 （本小题满分14分）
解：(ⅰ由已知2分。
故曲线在处切线的斜率为4分。
5分。当时，由于，故，所以，的单调递增区间为6分。
当时，由，得。
在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
8分。ⅲ）由已知，转化为9分。
10分。由(ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意。
或者举出反例：存在，故不符合题意11分。
当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，， 13分。
所以，解得14分。
题组一。一、 选择题。
1．（四川省成都市2011届高三理）已知定义域为r的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则。
ab．cd.
答案 d.2.（浙江省杭州市2011届高三文）右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是。ab d
答案 b 3．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）已知函数y=log2x的反函数是，则函数的图象是（ ）
答案 c.4．（广东省广州东莞五校2011届高三理）函数的一个单调递增区间为。
a． b． c． d．
答案 d.5. (山西省四校2011届高三文）函数y=log2(x+4)-3x零点的个数为（ ）
a．0 b．1 c．2 d．3
答案 c.6. （浙江省吴兴高级中学2011届高三文）
已知函数，则函数在下面哪个范围。
内必有零点。
a、 b、 c、 d、
答案 b7．（河北省唐山一中2011届高三文）若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值，则导函数f’(x)的图象不可能是。
答案 a.8. (广西桂林中学2011届高三理) 已知函数的反函数图像经过点，则函数的图像必经过点（ ）
ab. c． d．
答案 a.9．(河南信阳市2011届高三理）已知二次函数的图象如右图所示，则其导函数的图象大致形状是。
答案 b.二、 填空题。
10．（江苏泰兴2011届高三文）
设函数，对任意的，恒成立，则实数的取值范围是。
答案 11．（江西省上高二中2011届高三理）
已知函数f(x)＝则x0
答案 12. (四川省成都外国语学校10-11学年高一）已知函数是定义在实数集r上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是答案 0.
13．（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）
已知在上是增函数，则的取值范围是 ．
答案 14．（江西省上高二中2011届高三理）若对于任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是。
答案 (－1)∪(3，＋∞
三、 解答题。
15．（江苏泰兴2011届高三理）（本题满分16分）
已知函数，．
（1）当时，若上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值；
（3）对满足（ii）中的条件的整数对，试构造一个定义在且上的函数：使，且当时，．
答案 （1）当时1分。
若，，则在上单调递减，符合题意；……3分。
若，要使在上单调递减，必须满足5分。
∴．综上所述，a的取值范围是6分。
（2）若，，则无最大值7分。
故，∴为二次函数，要使有最大值，必须满足即且，…8分。
此时，时，有最大值分。
又取最小值时分。
依题意，有，则，……分。
∵且，∴，得，……分。
此时或．∴满足条件的整数对是12分。
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