解析：福建惠安高级中学杨苍洲 362100 email:yang_c_ tel：134***
2023年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试数学试题。
请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。
1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。
解析：平行四边形的对角线的平方和为什么会等于它四边的平方和，设另一条对角线长为，所以，所以。
2.求过抛物线和的交点的直线方程。
解析：解法一：由，得，所以过抛物线和的交点的直线方程。
解法二：由得或，所以过抛物线和的交点的直线方程。
3.在等差数列中，，数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何？
解析：因为所以，所以，法一：由得，又，所以，所以。
法二：由，所以当，。
4.在中，，求证：.
解析：因为。
当且仅当时，成立，又因为，所以。
5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？
解析：设存在四个正实数使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数的两两乘积为，把这些乘积乘起来，所以，又为正实数，所以，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。
6.和是平面上两个不重合的固定圆，是平面上的一个动圆，与，都相切，则的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
解析：不妨设，和的半径分别为（），1）当和相离时，即，ⅰ）若与，都外切，则，，所以；
若与，都内切，则，，所以；
所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；
ⅱ）若与内切，外切，则，，所以；
若与外切，内切，则，，所以；
所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；
2）当和外切时，即，ⅰ）若与，都外切，则，，所以；
若与，都内切，则，，所以；
所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；
ⅱ）若与内切，外切，则，（或，），所以（或）；
若与外切，内切，则，（或，），所以（或）；
所以或，所以的圆心的轨迹是过，的直线（除直线与圆、的交点外）；
3）当和相交时，即，ⅰ）若与，都外切，则，，所以；
若与，都内切，则，（或，），所以；
所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线（圆、的交点除外）；
ⅱ）若与内切，外切，则，，所以；
若与外切，内切，则，，所以；
所以，由椭圆的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆（圆、的交点除外）；
4）当和内切时，即，ⅰ）若与，都外切，则，，所以；
若与，都内切，则，（或，或，），所以(或或)；
所以或，所以的圆心的轨迹是过，的直线（除直线与圆、的交点外）；
ⅱ）若与内切，外切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆（两圆、的交点除外）；
5）当和内含时，即，ⅰ）若与，都内切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆；
ⅱ）若与内切，外切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆。
7.求的最小值。
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