“华约”包括：清华大学、中国人民大学、中国科技大学、上海交通大学、南京大学、浙江大学、西安交通大学。
一、 选择题。
1) 设复数z满足|z|<1且则|z| =
解：由得，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去），。
2) 在正四棱锥p-abcd中，m、n分别为pa、pb的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为。则异面直线dm与an所成角的余弦为( )
分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。如图建立坐标系，则a(1，-1，0)，b(1，1，0)，c(-1，1，0)，d(-1，-1，0)，p(0，0，)，则，。
设所成的角为θ，则。
解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。平移dm与an在一起。
即m移到n，d移到cd的中点q。于是qn = dm = an。而pa = pb = ab = 2，所以qn = an =，而aq =，容易算出等腰δaqn的顶角。
解法三：也可以平移an与dm在一起。即a移到m，n移到pn的中点q。以下略。
3)过点(-1, 1)的直线l与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 (
此题有误，原题丢了，待重新找找。
4)若的最小值和最大值分别为 (
分析]首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
解： 可见答案是b
分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：δo o1 o2边o1 o2上一点c，o o1、o o2延长线上分别一点a、b，使得o1a = o1c，o2b = o2c。
解法一：连接，c在上，则，，，故。
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，。
6) 已知异面直线a，b成60°角。a为空间一点则过a与a，b都成45°角的平面 (
a有且只有一个 b有且只有两个 c有且只有三个 d有且只有四个。
分析]已知平面过a，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系。于是原题简化为：
已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案是4个。
7) 已知向量则的最小值为( )
解：由得。由于，可以用换元法的思想，看成关于x，y + z，y - z三个变量，变形，代入。
答案b8)ab为过抛物线y2 = 4x焦点f的弦，o为坐标原点，且，c为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为 (
解法一：焦点f（1，0），c（-1，0），ab方程y = x – 1，与抛物线方程y2 = 4x联立，解得，于是，答案a
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形abcd中，∠bad = 45°，ef∥da，ef = 2，af = ad，bf = bc，求∠aeb。
类似的，有，答案a
解：，于是。将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值。
10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
a 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形。
b 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形。
c 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形。
d 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形。
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设δabc是锐角三角形，我们证明另一个三角形δdef(不妨设在ac的另一边)的(其中的边ef有可能与ac重合)的∠d一定是钝角。
事实上，∠d ≥ adc，而四边形abcd是圆内接四边形，所以∠adc = 180°-∠b，所以∠d为钝角。这样就排除了b，c。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设δabc中∠b是钝角，在ac的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在ac的另一侧的相邻(指有公共边ac) δacd，则∠d = 180°-∠b是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是d。
二、 解答题。
解：（i），整理得。
ii）由已知，与（i）比较知。又，，，而，代入得，，
12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。
i）若b = 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
ii）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
解：不妨设水杯高为1。
i）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为。
ii) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量 ：
水的质量 = a ：x。水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是，解得。
13）已知函数。令。
i)求数列的通项公式；
ii)证明。
解：由。i)先求出，猜想。用数学归纳法证明。当n = 1显然成立；假设n = k显然成立，即，则，得证。
ii) 我们证明。事实上，我们注意到。
于是。14）已知双曲线分别为c的左右焦点。p为c右支上一点，且使。
i）求c的离心率e ；
ii)设a为c的左顶点，q为第一象限内c上的任意一点，问是否存在常数λ（λ0）,使得恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在δp f1 f2中，，e为pf1上一点，pe = pf2，e f1 =2a，f1 f2 = 2c，求。
设pe = pf2 = ef2 = x，f f2 =，
e f1 f2为等腰三角形，，于是，。
ii)15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。
i）求p1，p2，p3，p4；
ii)**数列的递推公式，并给出证明；
iii)讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。
在数学竞赛吧2011清华自招压轴题的帖子中，路箩筐给出如下证法：
数学石神给出的递推关系是。
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