1. 已知是正整数，任取四个数求和，这些和组成的集合为，求这五个数。
2. 一场乒乓球比赛采用五局三胜制，任一局甲获胜的概率为，若设甲赢得整场比赛的概率为求当为多少时，取得最大值。
3. 已知函数的最大值为，最小值为，求的值。
4. （1）已知的反函数为，且，证明：；
（2）已知设，若的反函数是，证明：是奇函数。
5. 已知椭圆与圆，过椭圆上一点作圆的两条切线，切点分别为点，直线与轴，轴分别交于点，求的最小值。
6. 已知数列满足：.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求证：数列是有界数列。
7. 已知，求证：.
答案与解析】
1. 解：从中任取四个数求和，一共有种取法，即应有5个和值，但集合中只有4个和值，所以有一个和值重复，设其为，根据题意得，所以，即应为形式的正整数，所以，故这五个数分别为，即10，11，11，12，13.
2. 解：若比赛了3局后甲赢得整场比赛，此时甲赢得整场比赛的概率为；若比赛了4局后甲赢得整场比赛，则最后一局甲获胜，此时甲赢得整场比赛的概率为；若比赛了5局后甲赢得整场比赛，则最后一局甲获胜，此时甲赢得整场比赛的概率为，所以，所以，令，则，当时，；当时，所以上先是单调递增，然后单调递减，当取得最大值时，.
3. 解： ，问题等价于上的最大值为，最小值为，，分类讨论对称轴与的相对位置情况：
①当时，上的最大值为，最小值为，解得；
②当时，上的最大值为，最小值为，解得不符合题意。
综上得。4. 证明：（1）由；由解得，所以。
（2）因为的反函数是，所以。
因为所以。所以，即是奇函数。
5. 解：不妨设点的坐标为，点的坐标分别为，则，，，
由。即，即，由此可知直线的方程为，直线与轴，轴的交点的坐标分别为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为。
6. 解：（1）当时，，所以，所以当时，；当时，①当时，；
②当时，，与上面的式子相减得：，所以。
2）由，得，所以，所以当时，.
又因为，所以当时，，即数列是有界数列。
7. 解：原不等式等价于，即（*）
①当时，由得，所以（*）式左边大于等于0，（*式右边小于等于0，不等式显然成立；
②当时， ，利用不等式，得，所以。
利用伯努利不等式，得，不等式亦成立。
综上得原不等式成立。
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