一、填空题。
1. 不等式的解集为。
2. 已知三棱锥，，平面与平面所成的角为，该四面体的体积为，则与平面所成角的余弦值为。
3. 已知，点表示不在直线族上的点，点所构成的点集的面积为。
4. 设，若对于任意，存在，使得，则的取值范围为。
5. 已知，在区间和上各取一个数，这两个数之和小于1的概率为，则的值为。
6. 已知是两个夹角为的单位向量，以为基向量的坐标系中，两点的坐标分别为，则。
7. 已知，且的图象中距离轴最近的对称轴与轴的距离为，则的值为。
8. 已知，，又（表示集合中元素的个数），则满足条件的集合一共有组。
二、解答题。
9. 已知。
（1）若，求的最大值；
（2）若，求的值。
10. 已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为，分别为双曲线左支和右支上的动点。
（1）若直线的斜率为1，且直线与轴交于点，，求的值。
（2）若点为点关于轴的对称点，直线交轴于点，直线交轴于点，点为坐标原点，求证：.
11. 设在上可导，且对任意的有。
（1）证明：；
（2）若，证明：.
12. 如果数列满足，，，则称数列为类数列。
（1）求的值；
（2）如果均为类数列，且对，存在，使得，证明：；
（3）设集合，求集合中所有正数的和。
答案与解析】
解析】原不等式等价于，解得原不等式的解集为。
3.【解析】点不在直线族上。
没有实数解。
将方程整理为，关于的方程没有实数解时，分两种情况讨论：①；化简得，由此可得点所构成的点集的面积为。
4.【解析】；，所以的值域为，原题等价于求解不等式，解得。
5.【解析】设在区间和上所取的两个数为，在平面直角坐标系中，点集的面积为，点集的面积为。
根据面积型概率的求法可得，解得。
解析】设为坐标原点，则。
所以。7.【解析】当的图象中距离轴最近的对称轴为，将的图象上各点的横坐标变为原来的后，的图象中距离轴最近的对称轴为，由，解得；当考虑函数的图象，同理可得。
9. 解：（1）
因为，所以，所以当时，取得最大值；
（2）因为，所以当时，解得其中。
10. 解：（1）双曲线的两条渐近线为，由两条渐近线的斜率之积为，得所以双曲线的方程为。
易求得直线的方程为，与双曲线的方程联立解得：
点的坐标为，点的坐标为，所以，，由，得。
（2）点关于轴的对称点的坐标为，易求得直线的方程为，直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，所以，所以。
11. 证明：（1）由对任意的有，可知上严格单调递增。
由拉格朗日中值定理知：当时，存在。
使得，所以。
2）用反证法证明：假设存在，使得，则当时，.
由拉格朗日中值定理知：存在。
使得，由此得，但，矛盾，所以假设不成立；
同理可由存在，使得推出矛盾，所以。
12. 解：（1）由，得。
由得，即，整理得，由，得。
（2）由（1）知。
对用数学归纳法证明：①当时，，命题得证；
②假设命题对正整数成立，则对正整数，若，则不妨假设，此时，所以；
若，则存在，使得，由归纳假设得，所以此时仍有。
综上得原命题成立；
（3）若为正整数，则由（2）中的证明过程知：为正整数。
将数列按下面规则两两配对：，恰好可以配成对，且每对数列各数的和为，所以所有对数列各数的和为；
当时，所以集合中所有正数的和为。
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