2024年特长展示决赛数学试题

二○一四年初中特长展示决赛。

数学试题。时间：100分钟满分：100分）

一、选择题（共5小题，每小题4分，共20分．）

1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为。

a．-c-2b b．a-2b-c c．-2a-c d．c

2．将三角形纸片abc沿de折叠，使点a落在bc边上的点f处，且de∥bc，下列结论中，一定正确的个数是。

△△cef是等腰三角形； ②四边形adfe是平行四边形；

四边形bfed是菱形bdf+∠cef＝2∠a；

a．1b．2c．3d．4

3. 已知，且有，，则的值等于。

a． bcd．

4．如图，已知△abc的面积为24，点d**段ac上，点f**段bc的延长线上，且bc=4cf ，dcfe是平行四边形，则图中阴影部分的面积为。

a．3 b．4 c．6 d．8

5．任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：（）可称为正整数的最佳分解，并规定．如：12=1×12=2×6=3×4，则，则有以下结论：

；②；若是一个完全平方数，则；④若是一个完全立方数，即（是正整数），则．其中正确的结论有。

a．4个 b．3个 c．2个 d．1个。

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分．）

6．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44，仍是一个完全平方数，则这个自然数是．

7．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．

8．如图，在平面直角坐标系中，点b的坐标是（1，0），若点a的坐标为（a，b），将线段ba绕点b顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是。

9．如图，已知半径为1的圆的圆心为m（0，1），点b（0，2），a是x轴负半轴上的一点，d是oa的中点，ab交⊙m于点c，若四边形bcdm为平行四边形，则sin∠abd

10．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数据，，取出数据的顺序是，；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据，，，取出数据的顺序是，，，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则取出的数据按abcde的顺序的概率为。

三、解答题（共4题，每题15分，共60分）

11．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的**污水处理池（平面图如图abcd所示）．由于地形限制，**污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）

1）当**污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x；

2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以472 00元为总造价来修建**污水处理池是否最合算？请说明理由．

12．如图，点h为△abc的三条高线的交点，点d在△bch的外接圆上，且ad⊥bd于点d，延长ad交hc于点p，交外接圆于点e．

求证：点p为ch的中点．

13．如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为m的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点a和x轴正半轴上的点b，ab＝bo＝2，∠aob＝30°．

1）求这条抛物线的表达式；

2）连结om，求∠aom的大小；

3）如果点c在x轴上，且△abc与△aom相似，求点c的坐标．

14．（1）请你设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；

2）你能把正方形按上述要求分成31个正方形吗？若能，请画出图形；若不能，简单说明理由；

3）你能给出一种方法，把一个立方体分割成55个立方体吗？只需要说明设计方法，不需要画图．

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