2023年“北约”13校联考自主招生数学试题。
2023年北约自主招生数学试题。
1、求的取值范围使得是增函数；
2、求的实数根的个数；
3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求；
4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；
5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。
6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7、求使得在有唯一解的；
8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中。
2023年北约自主招生数学试题解析。
1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？
解析：显然，多项式的系数均为有理数，且有两根分别为和。于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.
若存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和，其中不全为0，则：
即方程组：，有非0有理数解。
由（1）+（3）得： （6）
由（6）+（2）得： （7）
由（6）+（4）得： （8）
由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾。所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和。
综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.
2．在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？
解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择。最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法。
3．已知，求的值。
解析：根据条件知：
由两式相减得故或。
若则，解得。于是知或。
当时，当时。
2）若，则根据条件知：，于是，进而知。
于是知：.综上所述知，的值为或。
4．如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由。
解析：如图，延长到，使得，连接。易知，所以。又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以。所以。
5．数列满足，前项和为，求。
解析：根据条件知：.又根据条件知：.
所以数列。又。令，则，所以。即。
对，两边同除以，有，即。令，则，，于是知。所以。于是知：.
6．模长为1的复数，满足，求的模长。
解析：根据公式知，.于是知：
所以的模长为1.
7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数。
解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型。
首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类。否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数。所以三类数中，最多能取到两类。
其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个。否则，若某一类型的数至少取到三个，设其中三个分别为，则，不可能为素数。所以每类数最多只能取两个。
结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件。
另一方面，设所取的四个数为，即满足题设条件。
综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数。
8．已知，满足，且，求证：.
解析：根据条件知：
另一方面，令，则中每个数或为，或为。设其中有个，个，则：
由（1）、（2）知：
而为奇数，不可能为0，所以。于是知：
从而知：，即得。同理可知：.命题得证。
9．对任意的，求的值。
解析：根据二倍角和三倍角公式知：
10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，都有。现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有。试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由。
解析：数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下：
显然，我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意，都有，其中。
若存在一组。令，其中，.则当时，都有。也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾。
所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的。
2023年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）
数学。注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z满足且，则。
a） （b） （c） （d）
答案】d2．在正四棱锥p-abcd中，m，n分别为pa，pb的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线dm与an所成交角的余弦值为。
a） （b） （c） （d）
答案】b3．过点的直线与曲线相切，且不是切点，则直线的斜率是。
a）2 （b）1 （c） （d）
答案】c4．若，则的最小值和最大值分别为。
a）（b） （c）（d）
答案】b5．如图，⊙o1和⊙o2外切于点c，⊙o1，⊙o2又都和⊙o内切，切点分别为a，b。，则。a）b）
c）d）
答案】b或c？
6．已知异面直线所成60°角，a为空间中一点，则过a与都成45°角的平面。
a）有且只有一个 （b）有且只有两个。
c）有且只有三个 （d）有且只有四个。
答案】b7．已知向量，，，则的最小值为。
a）1 （b） （c） （d）2
答案】b8．ab过抛物线焦点f的弦，o为坐标原点，且，c为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为。
a） （b） （c） （d）
答案】a9．如图，已知△abc的面积为2，d，e分别为边ab，边ac上的点，f为线段de上一点，设，且，则△bdf面积的最大值为。
a） （b）
c） （d）
答案】d10．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则。
a）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形。
b）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形。
c）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形。
d）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形。
答案】二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11．（本小题满分14分）
已知△abc不是直角三角形。
i）证明：；
ii）若，且的倒数成等差数列，求的值。
12．（本小题满分14分）
已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。
ⅰ）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
13．（本小题满分14分）
已知函数，，，令，。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）证明：。
14．（本小题满分14分）
已知双曲线（），分别为c的左、右焦点，p为c右支上一点，且使，又△f1pf2的面积为。
ⅰ）求c的离心率e；
ⅱ）设a为c的左顶点，q为第一象限内c上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
15．（本小题满分14分）
将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示未出现连续3次正面的概率。
ⅰ）求和；ⅱ）**数列的递推公式，并给出证明；
ⅲ）讨论数列的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。解答：
如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；
如果第n次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；
如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是。
如果第n次出现正面，第次出现正面，第次出现正面，那么已经出现连续3次正面，所以不需要考虑。
综上，有（）。其中，，。
我们先定义几个函数：
f(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至少有连续3次相同，总共有f(n)种情况。
g(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次连续相同，总共有g(n)种情况。
h(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次不相同，总共有h(n)种情况。
显然，下面的等式成立：
f(n)+g(n)+h(n)=2^n
f(n)=2f(n-1)+g(n-1)
g(n)=h(n-1)
化简得：g(n+1)=g(n)+g(n-1)
这个著名数列就不再啰嗦了。
最后由g(n)求得f(n)
当然，最后的结果是f(n)/2,因为连续正与连续负的情况是相等的。
2023年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）
数学部分。注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）在锐角中，已知，则的取值范围为（ ）
a) (b) (c) (d)
2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）
a) 36种 (b) 60种 (c) 90种 (d)120种。
3）正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为， 则之间的大小关系是（ ）
2019北约自主招生文科数学试题
1 三函 解几 已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。2 解几 方程 求过抛物线y 2x 2 2x 1与y 5x 2 2x 3的交点的直线方程。3 数列 在等差数列 an n下标 中，a3 13，a7 3，sn n下标 为其前n项和。问数列 sn n下标 的哪一项最...
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2023年北约自主招生数学试题
一 选择题 每小题8分，合计48分 1 圆心角为的扇形的面积为，则它围成的圆锥的表面积为 b a bcd 解 由得，由得，故它围成的圆锥的表面积为 2 将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有 c 种分法 a 1070 b 2014c 2100d 4200解 3 已知，则 a a 4027 ...