一、选择题。
1.以和1为两根的有理系数多项式的次数最小是多少。
a.2b.3c.5d.6
2.在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有多少种停放方法？
a.720b.20c.518400d.14400
3.已知x2=2y+5,y2=2x+5，x≠y,则x32x2y2+y3的值为。
a.10b.12c.14d.16
4. 数列满足，前项和为，则为。
a. 30192 2012b. 301922013 c. 301822012 d.无法确定。
5. 如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试则与的大小关系是。
a. bm+cn>mn b. mncnmn c. bm+cnmn d.无法确定。
6. 模长为1的复数，满足，则的模长为。
ab. 1c. 2d.无法确定。
二、填空题。
7.已知，满足，且，求证：.
8. 对任意的，求的值。
9. 最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数。
10. 已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，都有。现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有。
试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由。
1.【简解】式满足条件的一个多项式，故次数最小的多项式次数不超过5.假设g(x)=也是满足条件的一个，这里a,b,c,d,e为不全为零的有理数，则g()=4a+2c+e+(2b+d) =0,
4a+2c+e=2b+d=7a+b-c-d-e=2a+3b+2c+d=6a+3b+c=0，根据行列式知，此方程组解为a=b=c=d=e=0。故选c
2.【简解】，选d
3.【简解】两已知式子作差，得到x+y=-2，从而或，xy=-1；原式=-16，选d
4.【简解】；，作差有，，两边同除以，有， =选a
5.【简解】如图，延长到，使得，连接。易知，所以。又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以。所以。选a
6.【解析】
选b7.【解析】设，而。
则中每个数或为，或为。
设其中有个，个，则：
而为奇数，不可能为0，所以。于是知：
从而知：，即得。同理可知：.命题得证。
8.【简解】首先推得cos3β=4cos3β-3cosβ,从而。
原式=32×-(4-3)-6(-1)-15=10
9.【解析】可以证明，所取的数最多只能取到两类。否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数。所以三类数中，最多能取到两类。
其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个（否则，若某一类型的数至少取到三个，有不可能为素数）.
结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件。
另一方面，设所取的四个数为，即满足题设条件。
综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数。
10.【解析】数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下：
显然，要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，只需证明，对于任意，都有，其中。
若存在一组。令，其中，.则当时，都有。也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾。
所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的。
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