2023年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题(理科) 参***及评分标准。
一、选择题。
1．解析：，故选b。
考点：复数的基本运算。
2．解析：∵，故选d。
考点：集合的含义与运算。
3．解析：，∴故选b。
考点：等差数的通项与求和。
4．解析：∵，故选d。
考点：向量的运算与双曲线的性质。
5．解析：由题意得：
则，可得的最小正值为，故选a。
6. 解析：∵若、、 三点共线，即，故选b。
考点：向量共线的充要条件与轨迹。
7．解析：由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥，如右图所示。则外接球球心为ad的中点，故，
∴外接球的体积是。故选c。
考点：三视图与几何体体积的计算。
8．解析：∵方程的两根分别在区间和上，，由线性规划知识得： 的最小值为4。故选d。
考点：二次方程的根的分布和简单的线性规划。
9．解析：将极坐标方程和化为直角坐标系下的方程得：
和，由数形结合易得：这两条切线的夹角的最大值为，故选b
10．解析：设在区间上的三个零点为、、，则，、、为三个零点，∴、互不相等，∴上式“=”不成立。，故选c.
二、填空题。
11．解析：由。
考点：二项式定理。
12．解析：由框图知，由得：k=4.
考点： 程序框图。
13．解析： ∵回归直线方程为， ,样本中心点为(3,5)
又由于除去和这两个数据点后，的值没有改变，所以中心点也没有改变，设新的回归直线为，将样本中心点(3,5)代入解得：,当时，的估计值为6.2.
14．解析： 设，得。
当时，得在区间[2,3]上是减函数且。
所以在区间[2,3]上也是减函数，那么且，此种情况无解。
当时，得在区间[2,3]上是增函数且。
所以在区间[2,3]上也是增函数，那么且，解得。
所以实数的取值范围是（1，2）.
15．解析： ①设p点的坐标为，则：
∴①错误；，∵在圆外）∴②正确。
易知当点p在长轴的顶点上时，最小，且为锐角，∴设的外接圆半径为，由正弦定理得：，∴的外接圆半径的最大值为，∴③正确。
∵直线的方程为：……1)
直线的方程为：……2)
1) (2)得，∴点m的轨迹为双曲线。
④正确。三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 解：
………4分。
ⅰ） 5分。
6分。ⅱ）由（ⅰ）知当时，取得最大值，，或（舍去）
由正弦定理知9分。
又 ……11分。
……12分。
17. （1）证明：在矩形abcd中，ab=2ad=2，o为cd的中点。
为等腰直角三角形。
………2分。
h为ao的中点
………4分。
又，∩平面abco,而平面。
平面平面abco6分。
2）解：分别以直线、为轴和轴，为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示。则、、、
………8分。
设平面的一个法向量，类似可求得平面的一个法向量。
10分。所以二面角o—db—h的余弦值为12分。
18．解：（ⅰ该选手恰好答题4道而通过的概率……3分。
ⅱ）由题意可知，可取的值是……4分。
的分布列为。
所以的数学期望为12分。
19．解：（1）由，∴为等差数列3分，又∵为正项数列5分。
6分。29分。
即12分。注：第（2）小题也可用数学归纳法或用数列单调性加以证明，请酌情给分。
20．证明：（1）设， ,由， …3分。
ab的方程为： ，ab的方程为，直线ab恒过定点（0，16分。
2）不妨设。
则ab与抛物线围成的封闭区域的面积 ……8分。
……10分， ，当且仅当时成立。
直线ab与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为13分。
另解：设， ,ab的方程为：
联立消去y得：
3分。由，∴直线ab恒过定点q（0，1）。…6分。
2）由（1）知ab的方程为：
不妨设，则ab与抛物线围成的封闭区域的面积……8分。
……11分。
“=”当且仅当时成立。
直线ab与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为13分。
21．证明：（1）∵
2分，∴ 在上为增函数。
当时，恒成立4分。
……6分，记，则。
设，正数，满足：，∴
由（1）知：在上恒成立。
……9分。另证：
设6分。求导得： ，在上为增函数，9分。
3）结论：“对于任意的正数，，满足：，都有11分。
证明如下：∵
由于，，利用（2）的结论可得：
成立14分。
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