1、（2011丰台二模理14）．如图所示，∠aob=1rad，点al，a2，…在oa上，点b1，b2，…在ob上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点m从o点出发，沿着实线段和以o为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点m到达a3点处所需要的时间为__秒，质点m到达an点处所需要的时间为__秒．
2、（2011顺义二模理14）.给定集合a，若对于任意，有，且，则称集合a为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合为闭集合，则为闭集合；
④若集合为闭集合，且，则存在，使得。
其中正确结论的序号是。
3、（2011昌平二模文14）给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
函数=的定义域为，最大值是；②函数=在上是增函数；
函数=是周期函数，最小正周期为1；④函数=的图象的对称中心是（0，0）.
其中正确命题的序号是。
4、（2011朝阳二模文8）已知点是的中位线上任意一点，且。 设，，，的面积分别为，，，记，，，定义．当取最大值时，则等于(a)
a） （b） （c） （d）
5、（2011丰台二模文14）如图所示，已知正方形abcd的边长为1，以a为圆心，ad长为半径画弧，交ba的延长线于p1，然后以b为圆心，bp1长为半径画弧，交cb的延长线于p2，再以c为圆心，cp2长为半径画弧，交dc的延长线于p3，再以d为圆心，dp3长为半径画弧，交ad的延长线于p4，再以a为圆心，ap4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是_8__，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为_
6、（2011顺义二模文14）给定集合a，若对于任意，有，且，则称集合a为闭集合，给出如下三个结论：
集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合为闭集合，则为闭集合；
其中正确结论的序号是。
1、(2011朝阳二模理20)（本小题满分14分）
对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，记作，已知。
ⅰ）存在，使得，试求的值；
ⅱ）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；
ⅲ）若，（指集合b 中的元素的个数），且存在，，，则称为“和谐集”. 求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由。
ⅰ）解：因为，所以2分。
ⅱ）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则。
设，，，由已知，由于，所以，.
不妨令，，这里，且，同理，，且，因为只有三个元素，所以。
即，但是，与已知矛盾。
因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则8分。
ⅲ）当时，记，记，则，显然对任意，不存在，使得成立。 故是非“和谐集”，此时。同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.
因此10分。
下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.
设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.
现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，，
以上每个集合中的元素都是倍数关系。考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系。
综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为714分。
2、（2011丰台二模理20）.（本小题共13分）
用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的值；
ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．
解：（ⅰ由已知知。
所以． …4分。
ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，所以我们可设计如下**。
从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．
且‥‥所以． …8分。
ⅲ）任取，若，则必有．
即在（ⅱ）**中不会有两项的值相等．
对于而言，若在（ⅱ）**中的第一行共有的数不大于，则，即，所以，同理，第二行共有的数不大于，有，第行共有的数不大于，有．
所以，在数列中，不大于的项共有项，即项．
………13分。
3、（2011海淀二模理20）(本小题共13分）
对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如：1,0,1，则设是“0-1数列”，令。
ⅰ) 若数列： 求数列；
ⅱ) 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
ⅲ)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式。
解：(ⅰ由变换的定义可得2分。
4分。ⅱ) 数列中连续两项相等的数对至少有10对5分。
证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，所以中至少有10对连续相等的数对8分。
ⅲ) 设中有个01数对，中的00数对只能由中的01数对得到，所以，中的01数对有两个产生途径：由中的1得到；由中00得到，由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，所以，所以，由可得，
所以，当时，若为偶数，
上述各式相加可得，经检验，时，也满足。
若为奇数，
上述各式相加可得，经检验，时，也满足。
所以……4、（2011西城二模理20）.（本小题满分13分）
若为集合且的子集，且满足两个条件：
对任意的，至少存在一个，使或。
则称集合组具有性质。
如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为。
ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的**，如果不是请说明理由；
集合组1：；
集合组2：.
ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此**分别写出集合；
ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值。（其中表示集合所含元素的个数）
ⅰ）解：集合组1具有性质1分。
所对应的数表为：
………3分。
集合组2不具有性质4分。
因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质5分。
………7分。
8分。（注：**中的7行可以交换得到不同的**，它们所对应的集合组也不同）
ⅲ）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，所以集合组满足条件①和②，由条件①：，可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为0，所以由条件①可知数表中任意一行不全为0.
9分。由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同。
所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同10分。
因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以。
又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质。
所以12分。
因为等于**中数字1的个数，所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，在数表中，的个数为的行最多行；
的个数为的行最多行；
的个数为的行最多行；
的个数为的行最多行；
因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时**中最少有个。
所以的最小值为14分。
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