2023年北京市各区二模试题分类解析：数列。
1、（2011昌平二模理6）. 已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于（d
a．9b．3 c． -3 d．-9
2、（2011东城二模理5）已知正项数列中，，，则等于（ d ）
a）16b）8c） （d）4
3、（2011顺义二模理4）.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（d）
ab c d
4、（2011西城二模理7）．已知数列的通项公式为，那么满足的整数（ b）
a）有3个（b）有2个（c）有1个（d）不存在。
5、（2011西城二模理14）.数列满足，，其中，当时， _
若存在正整数，当时总有，则的取值范围是___
6、（2011昌平二模文3）数列对任意，满足，且，则等于（ a ）a．155 b． 160 c．172 d．240
7、（2011丰台二模文4）已知数列中，，，则(c)
8、（2011顺义二模文4）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于(c)
ab c d
1(2011朝阳二模理12)已知数列满足，且，则
；并归纳出数列的通项公式。
2、（2011海淀二模理13）已知数列满足， ，记数列的前项和的最大值为，则。
3、（2011东城二模文14）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于的正整数，且，那么 2 ；
若对于任意的，总存在，使得成立，则 5n-3
4、（2011海淀二模文13）已知数列满足且（），则； =n_.
5、（2011西城二模文9） 已知为等差数列，，则其前项之和为__3___
6、（2011西城二模文14）数列满足，，其中，．给出下列命题：，对于任意，；，对于任意，；，当（）时总有。
其中正确的命题是写出所有正确命题的序号）
解答。1（2011昌平二模理20）. 本小题满分13分)
已知数列满足，且对任意，都有．
ⅰ）求证：数列为等差数列；
ⅱ）试问数列中是否仍是中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
ⅲ）令证明：对任意。
解： （即1分。
所以2分。所以数列是以为首项，公差为的等差数列3分。
ii）由（ⅰ）可得数列的通项公式为，所以．……4分。
5分。7分。
因为8分。当时，一定是正整数，所以是正整数．
也可以从k的奇偶性来分析。
所以是数列中的项，是第项9分。
ⅲ)证明：由（2）知：， 10分。
下面用数学归纳法证明：对任意。
1)当时，显然，不等式成立11分。
2)假设当。
当。.12分。
即有：也成立。
综合(i)(ii)知：对任意。
2、（2011东城二模理20）（本小题共14分）
在单调递增数列中，，不等式对任意都成立。
ⅰ）求的取值范围；
ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；
ⅲ）设，求证：对任意的，.
ⅰ）解：因为是单调递增数列，所以，.
令， ，所以4分
ⅱ）证明：数列不能为等比数列。
用反证法证明：
假设数列是公比为的等比数列，，.
因为单调递增，所以。
因为， 都成立。
所以， ①因为，所以，使得当时，.
因为。所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立。
9分。ⅲ）证明：观察：， 猜想：.
用数学归纳法证明：
1）当时， 成立；
2）假设当时，成立；
当时，所以。
根据（1）（2）可知，对任意，都有，即。
由已知得，.
所以。所以当时， .
因为。所以对任意，.
对任意，存在，使得，因为数列{}单调递增，所以，.
因为，所以。
2、（2011丰台二模理15）.（本小题共13分）
已知等差数列的前项和为，a2=4， s5=35．
ⅰ）求数列的前项和；
ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和．
ⅰ）设数列的首项为a1，公差为d．
则5分。 前项和7分。
（ⅱ）且b1=e8分。
当n≥2时，为定值10分。
数列构成首项为e，公比为e3的等比数列11分。
13分。数列的前n项的和是。
3、 （2011东城二模文16）（本小题共13分）
已知数列的前项和为，且（）．
ⅰ）证明：数列是等比数列；
ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式．
ⅰ）证明：由，时，，解得。
因为，则，所以当时，整理得。
又，所以是首项为1，公比为的等比数列6分。
ⅱ）解：因为，由，得。
可得，（）当时也满足，所以数列的通项公式为。 …
4、（2011东城二模文20）(本小题共14分)
已知为两个正数，且，设当，时，．
ⅰ）求证：数列是递减数列，数列是递增数列；
ⅱ）求证：；
ⅲ）是否存在常数使得对任意，有，若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明理由．
ⅰ)证明：易知对任意，，．
由可知即．同理，，即．
可知对任意，．
所以数列是递减数列．
所以数列是递增数列5分。
ⅱ)证明：．
………10分。
ⅲ）解：由，可得．
若存在常数使得对任意，有，则对任意，．
即对任意成立．
即对任意成立．
设表示不超过的最大整数，则有．
即当时，．与对任意成立矛盾．
所以，不存在常数使得对任意，有。
5、（2011朝阳二模文16）（本小题满分13分）
设是一个公差为的等差数列，，，成等比数列。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）数列满足，求（用含的式子表示）.
解：（ⅰ由，，成等比数列得2分。
解得4分。数列的通项公式是6分。
8分。则10分。
6、（2011丰台二模文20）（本小题共13分）
已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且，．
ⅰ）求数列，的通项公式；
ⅱ）若数列满足，求数列的前项和；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，数列中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．
解：（ⅰ数列的前项和为，且，
当时，．当时，亦满足上式，故3分。
又数列为等比数列，设公比为，， 6分。
所以9分。ⅲ）假设数列中存在三项成等差数列，不妨设。
因为，所以，且三者成等差数列．
所以，即， 即．
方法一）因为， 所以，．
所以，所以与矛盾．
所以数列中不存在成等差数列的三项13分。
方法二）所以， 即．
所以．因为，所以，均为偶数，而1为奇数，所以等式不成立．
所以数列中不存在三项，使得这三项成等差数列13分。
7、（2011海淀二模文20）（本小题共13分）
对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如：1,0,1，则设是“0-1数列”，令。
ⅰ) 若数列： 求数列；
ⅱ) 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
ⅲ)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式。
解：(ⅰ由变换的定义可得2分。
………4分。
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