2023年北京市各区二模试题分类解析（12）：圆锥曲线。
1、（2011朝阳二模理6）点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 ( d
（abc）2d）
2、（2011东城二模理6）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点。若，则双曲线的离心率为（d ）
a） （b） （c） （d）
3、（2011海淀二模理7）若椭圆：（）和椭圆：（）
的焦点相同且。给出如下四个结论：
1 椭圆和椭圆一定没有公共点。
其中，所有正确结论的序号是（b）
abcd. ①
4、（2011顺义二模理5）.设抛物线的焦点为f,准线为，p为抛物线上一点，，a为垂足，如果直线af的斜率为，那么（c）
abc 8d 16
5、（2011西城二模理5）.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（c ）
a）（b）（c）（d）
6、（2011东城二模文6）已知点是抛物线：与直线：的一个交点，则抛物线的焦点到直线的距离是(b)
ab） （c） （d）
7、（2011朝阳二模文4）双曲线的焦点到渐近线的距离为(b)
a）2 （b）3c）4d）5
8、（2011海淀二模文8）若椭圆：（）和椭圆：（）
的焦点相同且。给出如下四个结论：
2 椭圆和椭圆一定没有公共点。
其中，所有正确结论的序号是(c)
abcd. ①
9、（2011顺义二模文5）设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为( d )
a -4b 4c - 8d 8
10、（2011西城二模文8）已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为(c)
a）（b）（c）（d）
1、（2011昌平二模文13） 已知抛物线的方程是，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为2，则双曲线的标准方程是 _ 其渐近线方程是。
2、（2011丰台二模文10）圆c：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 3 ．
3、（2011海淀二模文9）双曲线：的渐近线方程为若双曲线的右焦点和抛物线的焦点相同，则抛物线的准线方程为
解答。1、(2011朝阳二模理19)（本小题满分14分）
已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线与椭圆交于不同的两点．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）求的取值范围；
ⅲ）设直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值．
解：（ⅰ由题意得解得，．
故椭圆的方程为4分。
ⅱ）由题意显然直线的斜率存在，设直线方程为，由得5分。
因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，解得。 …6分。
设，的坐标分别为，则，，，7分。
所以8分。9分。
因为，所以．
故的取值范围为10分。
ⅲ）由（ⅱ）得11分。
所以为定值。
2、（2011昌平二模理18）. 本小题满分14分)
已知椭圆c：，左焦点，且离心率。
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ)若直线与椭圆c交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆c的右顶点a. 求证：直线过定点，并求出定点的坐标。
解：（ⅰ由题意可知： …1分。
解得2分。所以椭圆的方程为3分。
ii）证明：由方程组 ….4分。
整理得5分。
设。则6分。
由已知，且椭圆的右顶点为7分。8分 即。
也即 ……10分。
整理得11分。
解得均满足12分。
当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分。
当时，直线的方程为，过定点
故直线过定点，且定点的坐标为。
3、（2011东城二模理19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．
ⅰ）求曲线的方程；
ⅱ）证明：曲线在点处的切线与平行；
ⅲ）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．
ⅰ）解：由已知，动点到定点的距离与动点到直线的距离相等．
由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线．
所以曲线的方程为3分。
ⅱ）证明：设，．
由得．所以，．
设，则．因为轴，所以点的横坐标为．
由，可得。所以当时，．
所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行．……8分。
ⅲ）解：由已知，．
设直线的垂线为：．
代入，可得 （*
若存在两点关于直线对称，则，
又在上，所以，．
由方程（*）有两个不等实根。
所以，即。所以，解得或． …
4、（2011丰台二模理19）.（本小题共14分）
已知抛物线p：x2=2py (p>0)．
ⅰ）若抛物线上点到焦点f的距离为．
ⅰ）求抛物线的方程；
ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为e，过e作抛物线的切线，求此切线方程；
ⅱ）设过焦点f的动直线l交抛物线于a，b两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于c，d两点，求证：以cd为直径的圆过焦点f．
解：（ⅰ由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点f的距离与到准线距离相等，即到的距离为3；
解得． 抛物线的方程为4分。
ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．
由， 消y得6分。
解得7分。切线方程为8分。
ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，设，由消y得． 且．，；直线。
与联立可得， 同理得10分。
焦点，12分。
以为直径的圆过焦点。
5、（2011海淀二模理19）(本小题共13分）
在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点。
ⅰ）求动点的轨迹的方程；
ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论。
解：（）由题意可得2分。
所以，即4分。
即，即动点的轨迹的方程为5分。
）设直线的方程为，，则。
由消整理得6分。
则，即7分。
9分。直线。
12分。即。
所以，直线恒过定点。
6、（2011顺义二模理19）. 本小题满分14分）
已知椭圆c的左，右焦点坐标分别为，离心率是。椭圆c的左，右顶点分别记为a,b。点s是椭圆c上位于轴上方的动点，直线as,bs与直线分别交于m,n两点。
1） 求椭圆c的方程；
2） 求线段mn长度的最小值；
3） 当线段mn的长度最小时，在椭圆c上的t满足：的面积为。试确定点t的个数。
解（1）因为，且，所以。
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