2014高考一模分类——导数。
1. （石景山理18）．（本小题满分13分）
设函数。ⅰ）若，求函数的单调区间；
ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
ⅲ）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为。
解： （时， ，
1分。的减区间为，增区间3分。
在区间上是减函数，对任意恒成立，即对任意恒成立5分。
对任意恒成立，令，7分。
易知在单调递减，.
8分。ⅲ）设切点为，切线的斜率，又切线过原点，存在性：满足方程，所以，是方程的根11分。
再证唯一性：设，在单调递增，且，所以方程有唯一解。
综上，切点的横坐标为13分。
2. （石景山文14）．若存在实常数和，使得函数和对其定义域内的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”.已知函数和函数，那么函数和函数的隔离直线方程为。
3. （石景山文18）．（本小题满分13分）
已知函数．ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；
ⅱ）求函数的单调区间。
ⅲ）若在上没有零点，求实数的取值范围．
解：（ⅰ的定义域为1分。
2分。在处取得极值，解得或（舍3分。
当时，，；所以的值为4分。
ⅱ）令，解得或（舍5分。
当在内变化时，的变化情况如下：
由上表知的单调递增区间为，单调递减区间为。 …8分。
ⅲ）要使在上没有零点，只需在上或，又，只须在区间上。
ⅰ）当时，在区间上单调递减，解得与矛盾10分。
ⅱ） 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，解得。
所以12分。
（ⅲ）当时，在区间上单调递增，，满足题意。
综上，的取值范围为13分。
4. (丰台理18) (本小题共13分)
已知函数。ⅰ）求曲线在点（）处的切线方程；
ⅱ）若存在使得，求的取值范围。
解：（ⅰ因为，所以切点为（0，-1）. 所以曲线在点（）处的切线方程为：y=(a-1)x-14分。
ⅱ）（1）当a>0时，令，则。
因为在上为减函数，所以在内，在内，所以在内是增函数，在内是减函数，所以的最大值为。
因为存在使得，所以，所以。
2）当时， <0恒成立，函数在r上单调递减，而，即存在使得，所以。
综上所述，的取值范围是(-∞0)∪[e13分。
5. （丰台文18）（本题共13分）
已知函数。ⅰ）求曲线在点（）处的切线；
ⅱ）若存在实数使得，求的取值范围。
解：（ⅰ因为，所以切点为（0，-1）.，所以曲线在点（）处的切线方程为：y=(a-1)x-14分。
ⅱ）因为a>0，由得，，由得，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为。
因为存在使得，所以，所以13分。
6. （东城理18）（本小题共13分）
已知函数，.
ⅰ）当时，求的单调区间；
ⅱ）已知点和函数图象上动点，对任意，直线倾斜角都是钝角，求的取值范围。
解：（ⅰ当时，，定义域为 ，所以的单调递增区间为，单调递减区间为。 …5分。
ⅱ）因为对任意，直线的倾斜角都是钝角，所以对任意，直线的斜率小于，即，即在区间上的最大值小于。
令（）.1）当时，在上单调递减，显然成立，所以。
2）当时，二次函数的图象开口向下，且，故，在上单调递减，故在上单调递减，，显然成立，所以。
3）当时，二次函数的图象开口向上，且，所以，当时，当时，.
所以在区间内先递减再递增，故在区间上的最大值只能是或。
所以即。所以。
综上13分。
7. （东城文18）（本小题共13分）
已知函数，.
ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）讨论的单调性。
解：（ⅰ当时，所以，.
因此，.即曲线在点处的切线斜率为。
又，即曲线在点处的切线方程为。即4分。
1）当时，因为，所以在上单调递减。
2）当时，因为，.
所以在上单调递减。
3）当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减。
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减13分。
8. （大兴理18）（本小题共13分）
已知函数，.
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）设函数，求证：对任意，都有。
解2分。由题意4分。
所以切线方程为5分。
2分。0，得3分。
………5分。
所以= …6分。
即8分 9. （大兴文）（18）（本小题共13分）
已知函数．）当时，求函数在点处的切线方程；
）若函数有且仅有一个零点，求实数的范围。
解： (由，得。
2分。当时3分。
切线方程4分。
(ⅱ)令得2分。
………6分。
极大值是极小值是，
函数有且仅有一个零点，须。
或8分。即，或时，函数有且仅有一个零点。……9分。
10. （西城理）18．（本小题满分13分）
已知函数其中．
ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
ⅱ）如果对于任意，且，都有，求的取值范围。
ⅰ）解：由题意，得，其中， …2分。
所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为。……4分。
ⅱ）解：先考察函数，的图象，配方得5分。
所以函数在上单调递增，在单调递减，且。
…… 6分。
因为对于任意，且，都有成立，所以8分。
以下考察函数，的图象，则，令，解得9分。
随着变化时，和的变化情况如下：
即函数在上单调递减，在上单调递增，且11分。
因为对于任意，且，都有成立，所以12分。
因为（即），所以的取值范围为13分。
11. （西城文）18．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．
ⅰ）解：由，得2分。
所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为。……4分。
ⅱ）解：由，得，即6分。
设函数，则8分。
因为，所以，所以当时10分。
故函数在上单调递增，所以当时11分。
因为对于任意，都有成立，所以对于任意，都有成立。
所以13分。
12. （海淀理18）（本小题满分13分）
已知曲线。ⅰ)若曲线c在点处的切线为，求实数和的值；
ⅱ)对任意实数，曲线总在直线：的上方，求实数的取值范围。2分。
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