2023年北约自主招生数学试题

2023年。

北约。自主招生。

数学试题。2023年北约自主招生数学试题与答案。

时间90分钟，满分120分）

即方程组：，有非0有理数解。

由（1）+（3）得：（6）

由（6）+（2）得：（7）

由（6）+（4）得：（8）

由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾。所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和。

综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

1．在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？

a. 720 b. 20 c. 518400 d. 14400

解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择。最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。

三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法。

2．已知，求的值。

a. 10 b. 12 c. 14 d. 16

解析：根据条件知：

由两式相减得故或。

若则，解得。于是知或。

当时，当时。

2）若，则根据条件知：，于是，进而知。

于是知：.综上所述知，的值为或。

3．数列满足，前项和为，求。

a. 30192 2012 b. 301922013 c. 301822012 d.无法确定。

解析：根据条件知：.又根据条件知：.

所以数列。又。令，则，所以。即。

对，两边同除以，有，即。令，则，，于是知。所以。于是知：.

5．如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由。

a. bm+cn>mn

b. mncnmn

c. bm+cnmn

d.无法确定。

解析：如图，延长到，使得，连接。易知，所以。又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以。所以。

6.模长为1的复数，满足，求的模长。

a. 1/2 b. 1 c. 2d.无法确定。

解析：根据公式知，.于是知：

所以的模长为1.

7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数。

解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型。

首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类。否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数。所以三类数中，最多能取到两类。

其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个。否则，若某一类型的数至少取到三个，设其中三个分别为，则，不可能为素数。所以每类数最多只能取两个。

结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件。

另一方面，设所取的四个数为，即满足题设条件。

综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数。

8．已知，满足，且，求证：.

解析：根据条件知：

另一方面，令，则中每个数或为，或为。设其中有个，个，则：

由（1）、（2）知：

而为奇数，不可能为0，所以。于是知：

从而知：，即得。同理可知：.命题得证。

9．对任意的，求的值。

解析：根据二倍角和三倍角公式知：

10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，都有。现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有。试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由。

解析：数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下：

显然，我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意，都有，其中。

若存在一组。令，其中，.则当时，都有。也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾。

所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的。

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